Решение диф уравнения, которое зависит от параметра




НазваниеРешение диф уравнения, которое зависит от параметра
Дата публикации10.07.2016
Размер0.5 Mb.
ТипРешение
edushk.ru > Математика > Решение
Децентрализованная модель Рамсея

§ 1. Некоторые факты из математики
Соотношения из теории дифференциальных уравнений.

  1. Дифференцирование решения дифференциального уравнения по начальным условиям.

Пусть имеется диф. уравнение первого порядка и начальное условие:

= , (1.1)

= , (1.2)

где - непрерывная по совокупности переменных функция, дифференцируемая по .

Пусть - решение диф. уравнения , которое зависит от параметра .

Производная по удовлетворяет следующему диф уравнению:

= (1.3)

Т.о. это линейное однородное диф уравнение относительно = . Получаем :

= , (1.4)

причем = = = 1.

Получаем:

= (1.5)

Аналогичная идея используется, если нам надо продифференцировать решение не по начальным условиям, а по параметрам, которые входят в функцию .

2) Как решаются в явной форме линейные диф. уравнения с переменными коэффициентами ?

+ = (1.6)

. (1.7)

Умножаем обе части дифференциального уравнения на , интегрируем его от 0 до , и используем формулу интегрирования по частям, чтобы получить

= (1.8)

Диф.уравнение (1.6), (1.7) имеет естественную экономическую интерпретацию. Перепишем его следующим образом: = + ( ) (1.9)

Будем считать, что это накопленный капитал, — это чистый доход в единицу времени, а – это банковский процент в момент со знаком минус, - наследство.

Тогда диф. уравнение можно интерпретировать следующим образом:

«Изменение капитала за единицу времени равно притоку чистого дохода за единицу времени плюс процентные выплаты за единицу времени».

Аналогичным образом, можно проинтерпретировать и решение диф. уравнения, переписав его в виде

= : (1.10)

приведенная стоимость капитала равна начальному уровню капитала плюс приведенная стоимость чистого дохода.

При = соотношение приобретает вид.


= + (1.11)
  1. ^

    В случае, когда процент на капитал переменная величина, то можно считать, что – это средний процент.




  1. § 2. Условие отсутствия пирамид ( No-Ponzi-Game condition, NPG)



В децентрализованной экономике Рамсея домовладения, живущие бесконечно долго и увеличивающиеся с темпом , самостоятельно максимизируют свою полезность, принимая во внимание собственное бюджетное ограничение, которое имеет вид:

, где (2.1)

- потребление (поток)

- реальный доход (поток)

- накопленные сбережения или долги (запас)

- процентные платежи (поток).

Рассмотрим бюджетное ограничение домовладения, размер которого постоянен, как дифференциальное уравнение на :

- (2.2)

линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами.

Его решение: (2.3)

Обозначим через - фактор дисконтирования, позволяющий привести доходы будущих периодов к начальному моменту времени. Перепишем (2.3):

: (2.4)

баланс доходов и расходов в интегральной форме. Перепишем (2.4) . (2.5)

Если на знак и динамику не накладывается никаких условий, то бюджетное ограничение в виде (2.1) реально не ограничивает домовладения при выборе потребления – за счет увеличения заимствований они могут неограниченно увеличить дисконтированный поток потребления. Покажем это.

Рассмотрим следующую динамику заимствований :

, где (2.6)

- темп прироста заимствований:

. (2.7)

Подставим это в бюджетное ограничение домовладения (2.1):



То есть, если на величину нет ограничений, домовладение может неограниченно увеличивать свое потребление.

Чтобы не допустить «безответственного» поведения домовладения, вводим ограничение на заимствования: - условие отсутствия пирамид. (2.8)
Если , то условие (2.8) примет вид:

. (2.9)

В принципе, это условие не мешает домовладению заимствовать временно, но заставляет его не накапливать долги в геометрической прогрессии, то есть вынуждает его расплачиваться по долгам.

Будет ли условие (2.8) выполняться как строгое неравенство? Очевидно, это будет противоречить условию рациональности домовладения, функция полезности которого имеет положительную первую производную всюду. То есть в задачах с классичиеской функцией полезности это неравенство можно использовать в виде равенства

, (2.10)

Таким образом, при наложенном нами условии отсутствия пирамид, интегральный баланс доходов и расходов домовладения (2.5) при принимает вид

, (2.11)

то есть дисконтированный поток потребления домовладения на протяжении всей жизни складывается исключительно из начального благосостояния (унаследованного) и заработанных (но не заимствованных) на протяжении всей жизни доходов.

Введем следующие обозначения. Пусть есть переменная потока , например, траектория потока доходов. Обозначим

- приведенная стоимость потока (например, доходов). (2.12)

Рассмотрим интегральное бюджетное ограничение потребителя – соотношение (2.5). Пусть выполнено условие отсутствия пирамиды (2.10). Переходя в соотношении (2.5) к пределу при , получим

, (2.13)

считая, что существует, т.е поток доходов растет не слишком быстро.

Соотношение (2.13) имеет очевидную интерпретацию: сумма приведенных расходов равна начальным сбережениям плюс сумма приведенных доходов.

Полезно иметь в виду следующее утверждение: если функционал, оптимизируемый на ограничениях (2.2) и (2.10) зависит только от потребления (и не зависит от ), то безразлично, рассматривать ли его максимизацию на ограничениях (2.2) и (2.10) или на ограничении (2.13).

Мы вывели соотношение (2.13) из соотношений (2.2) и (2.10), то есть в одну сторону это утверждение очевидно.

Покажем, что если какая-то траектория потребления удовлетворяет ограничению (2.13) то можно найти соответствующую траекторию накоплений такую, что будут выполнены ограничения (2. 2) и (2.10).

Положим:

, (2.14)

где удовлетворяет (2.13).

Дифференцируя (2.14) легко показать, что такие траектории и удовлетворяют соотношению (2.2).

Проверим, что будет выполнено и (2.10). Умножаем (2.14) на и получившееся выражение вычитаем из (2.13):

(2.15)

Переходя в (1.19) к пределу при , и получаем условие отсутствия пирамиды (2.10).

Условие о том, что оптимизируемый функционал не зависит от важно потому, что никаких ограничений, влияющих на выбор , кроме бюджетных, нет. Иначе бы было невозможно выбрать согласно правилу (2.14).

§ 3. ^ Постановка задачи децентрализованной модели Рамсея. Равновесие.

Децентрализованный вариант модели Рамсея –модель экономического равновесия.

«Действующие лица» модели: домовладения-потребители и фирмы производители.

  1. Они рациональны. То есть любые их действия нацелены на увеличение своего «благополучия» при имеющихся ограничениях. «Благополучие» потребителей описывается их полезностью, «благополучие» фирм – их прибылью.

  2. Их много. Каждый из них не может и не пытается влиять на внешние по отношению к нему параметры экономики. То есть, они воспринимают цены как нечто, данное свыше.

Оптимальные спрос и предложения, сформированные в результате оптимизации своего «благополучия», фирмы и потребители «приносят» на соответствующие рынки. Мы предполагаем, что рынки совершенны, и в равновесии на каждом рынке равновесные цены определяются равенством спроса и предложения.

Нас интересует динамика экономических параметров в такой экономике.

Домовладения-потребители

Все домовладения одинаковы. Живут бесконечно долго. В каждый момент времени :

  1. растут с темпом , так что население всей экономики , где - число домовладений, а население одного домовладения . Каждый родившийся член домовладения получает равную долю от общего накопленного благосостояния (долга) домовладения.

  2. каждый член домовладения обладает единицей труда, которую предоставляет на рынок, за что получают реальную заработную плату в размере на члена домовладения. Предложение труда неэластично.

  3. имея начальный уровень благосостояния , в дальнейшем формируют накопления (в виде права собственности на капитал или предоставления ссуды) или берут кредиты на финансовом рынке, так что их накопления (заимствования) к моменту равны , а соответствующие процентные доходы (выплаты) на члена домовладения.

  4. потребляют в количестве на члена домовладения.

Таким образом, агрегированное бюджетное ограничение домовладения имеет вид:

(3.1)

Каждое домовладение максимизирует дисконтированную полезность своего клана на всем протяжении своей жизни:

, (3.2)

где - мгновенная функция полезности одного члена домовладения:

возрастающая и вогнутая

и удовлетворяет условиям Инада: . (3.3)

Положительная норма дисконтирования означает меньшую ценность полезности, полученной позже, по сравнению с полученной раньше.

В дальнейшем положим (3.4)

Последнее условие- ограничение на темп роста заимствований домовладения, накладываемое кредитным рынком —условие отсутствия пирамиды:

, (3.5)

где (3.6)

Таким образом, репрезентативное домовладение при ограничениях (3.1) и (3.5) и уровне начальных ресурсов выбирает траектории потребления и накопления с целью максимизировать функционал (3.2), принимая как заданные траектории и .

Замечание: так как два вида активов, капитал и ссуда, как средства накопления являются совершенными заменителями, то процентные платежи на капитал и ссуды должны совпадать. Одно домовладение может заимствовать (кредитовать) у другого домовладения. Однако, репрезентативное домовладение в равновесии не будет иметь положительных кредитов или ссуд.

Фирма-производитель

Фирма производит товары, выплачивает зарплаты и платит рентную плату за капитал.

Мы предполагаем, что фирма арендует капитал у домовладений, в собственности которых капитал находится.

Технологическая функция репрезентативной фирмы -- неоклассическая.

В удельных величинах на одного работника фирмы:

(3.7)

- предельные продукты факторов. (3.8)

Произведенный фирмой продукт может быть использован как для потребления, так и для увеличения капитала (односекторная производственная модель). То есть цена капитала в терминах потребительского товара равна 1.

В каждый момент прибыль фирмы:

(3.9)

Так как фирма каждый период выбирает оптимальные уровень занятости и объем капитала независимо от уровня занятости и капитала в предыдущие периоды, то задача максимизации приведенной стоимости прибыли всех последующих периодов сводится к независимым задачам максимизации прибыли (3.9) в каждом отдельном периоде.

Рассмотрим фирму произвольного размера . Ее прибыль в период

(3.10)

Условия первого порядка максимизации (3.10) определит уровень удельного капитала :

. (3.11)

Результирующая прибыль (3.10) будет положительна или отрицательна, в зависимости от уровня . Следовательно, в рыночном равновесии таково, что прибыль (3.10) равна 0:

. (3.12)

При этом фирма безразлична к выбору уровня занятости.

Видим, что зарплата, определяемая из соотношения (3.12), равна предельному продукту единицы труда, то есть не противоречит условию совершенной конкуренции на рынке труда. Это - свойство функций с постоянной отдачей от масштаба.

Очевидно, что при этом не определен размер отдельно взятой конкурентной фирмы . Однако, модель позволяет определить фондовооруженность фирмы и агрегированный уровень производства.

Равновесие.

Определение: совокупность траекторий называется равновесием в децентрализованной модели Рамсея, если выполнены следующие условия:

1)Домовладения рациональны:

– решение (1.21), (1.20) и (1.24) при ;

2)Фирмы рациональны:

– решение максимизации (1.28) при ;

Выполнены балансовые условия равновесия на рынках

  1. труда: ; (3.13)

  2. капитала: ; (3.14)

  3. продукта: . (3.15)

Выполнено начальное условие (3.16)

Замечания.

  1. В данной модели мы рассматриваем 3 рынка и два ценовых параметра . Чем при этом обеспечивается равновесие на рынке товара?


Технически: если мы подставим балансовые условия на рынках труда, капитала и условие рациональности фирмы в бюджетное ограничение домовладения, то мы автоматически получим балансовое условие на рынке продукта. То есть условия рациональности и баланс на рынках труда и капитала обеспечат нам баланс и на рынке продукта.
Теоретически: из постановки задачи видим, что все ценовые показатели выражены в ценах продукта, это видно из бюджетного ограничения и уравнения прибыли фирмы. То есть цена продукта неявно есть в равновесной траектории. При этом, выполнение балансового условия на рынке продукта следует из выполнения балансовых условий на рынках труда и капитала согласно закону Вальраса.
Интуитивно: существует определенная связь между балансовым условием на рынке продукта и бюджетным ограничением потребителя, причина которой состоит в том, что весь продукт, создаваемый в рамках производственной системы, распределяется между участниками внутри этой же самой системы.

2. Вообще говоря, записанное нами бюджетное ограничение домовладения в общем случае должно содержать в доходной части и прибыль, создаваемую в производственном секторе, так как, в конечном счете, именно домовладения и являются производителями. В нашем случае эта прибыль равна нулю – специфика неоклассической производственной функции.

§ 4. ^ Совпадение решений централизованной и децентрализованной моделей
Теорема: децентрализованная равновесная траектория в модели Рамсея является оптимальной траекторией в централизованной задаче Рамсея.

Для доказательства этой теоремы нам нужно показать, что если траектории - являются составляющими равновесного решения децентрализованной задачи, то они являются и оптимальными траекториями централизованной задачи. И наоборот, если - оптимальные траектории централизованной модели Рамсея, то они являются и равновесием в централизованной модели при соответствующем выборе .

Доказательство.

Рассмотрим задачу максимизации функционала полезности потребителей децентрализованной модели (3.2) на бюджетном ограничении (3.1).

Из принципа максимума следует:

(4.1)

и условие трансверсальности

. (4.2)

Подставляя балансовое условие равновесия на рынке капитала и условие рациональности производителя в уравнения принципа максимума (4.1), (4.2) и бюджетное ограничение потребителя (3.1), получаем соотношения:

(4.3)

(4.4)

(4.5)

что в точности соответствует необходимым и достаточным условиям оптимальности траекторий в централизованной задаче Рамсея.

Покажем теперь, что оптимальная траектория централизованной задачи является допустимой по условию (3.5), то есть на оптимальной траектории выполнено условие отсутствия пирамиды. Фактически, мы хотим показать эквивалентность условия трансверсальности условию отсутствия пирамиды.

Пусть траектория является решением оптимальной задачи Рамсея, то есть выполнено уравнение Эйлера (4.3).

Положим

, , (4.6)

Такой выбор соответствует условиям рациональности производителя и балансовым условиям на рынках труда и капитала.

Интегрируя уравнение Эйлера (4.3) и подставляя (4.6), получаем:

. (4.7)

Подставим соотношение (4.7) в условие трансверсальности (4.2). Получаем

. (4.8)

Полагая, согласно (4.6), , получаем:

. (4.9)

То есть на оптимальной траектории при соответствующем выборе выполнено условие отсутствия пирамиды.

Таким образом, мы показали, что равновесное решение децентрализованной задачи Рамсея воспроизводит оптимальную траекторию централизованной задачи, а решение оптимальной задачи, в свою очередь, при естественном выборе траекторий накопления, процентной ставки и зарплаты, воспроизводит равновесные траектории децентрализованной модели Рамсея.

§ 5. ^ Правительство в децентрализованной экономике Рамсея
Мы доказали эквивалентность централизованной и децентрализованной моделей Рамсея в том смысле, что если есть равновесная траектория децентрализованной модели, то соответствующие компоненты равновесия и являются решением централизованной модели. С другой стороны, зная оптимальные траектории потребления и фондовооруженности централизованной модели, можно восстановить решение децентрализованной модели.

Введем в рассматриваемую модель децентрализованной экономики Рамсея еще одного игрока – правительство. Задача правительства – изыскать средства, необходимые для покрытия государственных расходов. Никакой другой целевой функции государства мы пока рассмотривать не будем.

Будем считать, что траектория подушевых правительственных расходов задана экзогенно.

Эти расходы могут быть покрыты за счет нескольких источников. Мы будем рассматривать два основных. Во-первых, правительственные расходы могут финансироваться за счет паушального ( ) налога с домовладений. «Паушальный» означает, что размер налога задан для каждого потребителя в виде некоторой фиксированной величины, не зависящей от каких бы то ни было характеристик потребителя. Во-вторых, текущие расходы могут быть покрыты за счет заимствования средств у населения. Если государство сегодня собрало налогов в объеме меньшем (большем), чем необходимо для покрытия сегодняшних расходов, то государство может финансировать нехватку (избыток) средств путем выпуска (скупки) государственных ценных бумаг. Соответственно, в дальнейшем государство должно будет расплатиться по своим долгам (собрать долги), принимая во внимание необходимые процентные платежи.

Для того, чтобы проанализировать влияние политики государства на экономическое развитие в общем случае, начнем с изучения самого простого подхода к финансированию расходов.

Сбалансированный бюджет

Предположим, что правительство в каждый момент времени назначает размер налога, в точности совпадающий с объемом текущих расходов

(5.1)

Тогда бюджетное ограничение потребителя принимает вид:

. (5.2)

Условие отсутствия пирамиды в задаче потребителя останется тем же самым.

. (5.3)

Заметим, как мы уже показывали раньше, условие (5.2), выполненное , в совокупности с условием (5.3) эквивалентны интегральному бюджетному ограничению домовладений

(5.4)

Определение равновесия останется таким же, как в моделе Рамсея без государства, за одним исключением: баланс на рынке товаров должен учитывать тот факт, что появился еще один потребитель – государство:

. (5.5)

Очевидно, что отмеченная на прошлой лекции связь между бюджетным ограничением и материальным балансом по-прежнему сохранится, так как государственные расходы в каждый момент равны величине налогообложения.

Так как расходы правительства заданы экзогенно и не влияют на предельную полезность потребления репрезентативного домовладения, то по прежднему сохранится эквивалентность между децентрализованной и соответствующей централизованной моделями Рамсея.

Предположим, что государственные расходы постоянны (5.6)

и воспользуемся результатами анализа централизованной модели.

Соответствующая фазовая диаграмма изменится лишь в отношении положения кривой : она сместится вниз на величину . Соответственно, изменится положение стационарного состояния модели в пространстве .


Условия, определяющие стационарное состояние примут вид:

(5.7)

, (5.8)

что отражает тот факт, что потребление домовладений уменьшится на величину расходов государства. Важно, однако, отметить, что фондовооруженность в стационарном состояние не претерпит изменений и будет по прежднему соответствовать «модифицированному золотому правилу».

Несбалансированный бюджет

Рассмотрим более сложную ситуацию: разрешим государству финансировать свои расходы не только за счет сбора текущих налогов, но и за счет заимствований. Тогда отпадет необходимость покрывать текущие расходы текущими налогами, то есть иметь сбалансированный бюджет, при этом появится внутренний государственный долг.

С точки зрения потребителей, возникает еще один вид активов – государственные ценные бумаги. Будем считать, что они являются совершенными заменителями двух рассмотренных прежде видов активов. Соответственно, для того, чтобы в равновесии все виды активов имели место, необходимо, чтобы процентные ставки по ним совпадали. Таким образом, теперь накопления потребителей будут включать в себя как непосредственно капитал, одалживаемый производственному сектору, ссуды (кредиты) другим домовладениям, так и и государственные займы.

Обозначим через размер долга государства на одного жителя (то есть положительный знак соответствует положительной величине долга). Тогда бюджетное ограничение правительства принимает вид:

, (5.9)

где отражено, что расходная часть государственного бюджета помимо экзогенно заданных расходов включает процентные платежи по накопленному долгу .

Логично распространить ограничение на скорость накопления долга и на государство. То есть ввести условие отсутствия пирамиды в отношении государства:

(5.10)
Как такая политика повлияет на определение равновесия в децентрализованной модели Рикардо?

Условия рациональности изменятся лишь в части бюджетного ограничения потребителей.

Балансовое условия на рынке труда не изменится.

Баланс на рынке продукта будет теперь включать потребление государственного сектора, согласно (5.5).

Баланс же на рынке капитала приобретает вид:

(5.11)

Отсюда видно, что государственная политика в отношении финансирования долга могла бы оказывать влияние на фондовооруженность в экономике. Соответственно возникает вопрос: каково влияние государства, выбирающего между налогами и долгом для финансирования экзогенно заданных расходов, на динамику и стационарное состояние потребления, фондовооруженности? Чем должно руководствоваться государство, определяя размер налогообложения и объема выпуска ценных бумаг?

Рикардианская эквивалентность

Утверждение (Рикардианская эквивалентность):

Выбор налоговой политики и объемов долговых обязательств государства не влияет на равновесную траекторию развития.

То есть изменение политики финансирования в сторону увеличения или уменьшения налогообложения при заданной траектории государственных расходов никак не влияет на потребление и фондовооруженность на равновесной траектории.

Доказательство:

Рассмотрим бюджетное ограничение государства (5.9) в совокупности с условием отсутствия пирамиды (5.10). Ранее мы показали, что эти ограничения эквиваленты интегральному ограничению

, (5.12)

где - исходный долг правительства.

Интегральное бюджетное ограничение потребителей не изменится по сравнению со случаем сбалансированного бюджета и будет иметь вид

(5.13)

Равновесное условие на рынке капитала в нулевой момент . (5.14)

Тогда, вычитая интегральное бюджетное ограничение государства (5.12) из интегрального бюджетного ограничения домовладения (5.13) получаем соотношение

(5.15)

Так как функционал потребителей зависит только от потребления, то, как было показано раньше, максимизация полезности потребителей на ограничениях (5.2) и (5.3) эквивалентна максимизации полезности на ограничении (5.15). Но ограничение (5.15) в точности воспроизводит интегральное ограничение потребителей, которое мы получили в случае сбалансированного бюджета государства (5.4). То есть, доступное множество траекторий потребления в обоих случаях будет одним и тем же, а, следовательно, и выбранная траектория потребления окажется одинаковой.

Из балансового условия на рынке продукта (5.5) сразу следует, что и траектория фондовооруженности в экономике с несбалансированным бюджетом будет такой же, что и в экономике со сбалансированным бюджетом.

Таким образом, мы показали, что вне зависимости от способа финансирования бюджетных расходов, траектории потребления и фондовооруженности всегда будут одними и теми же и будут определяться исключительно траекторией расходов .

На что же тогда повлияет выбор конкретной политики налогообложения? Это очевидным образом следует из балансового соотношения на рынке капитала (5.11).

Рост текущего долга в момент , сопровождающий снижение налога ниже уровня сбалансированного бюджета, тут же обратится в рост накоплений потребителей, так как траектория фондовооруженности не меняется. Причем средством вложения накоплений и будут выпускаемые для покрытия долга государственные ценные бумаги. То есть сегодняшнее снижение налогового бремени приводит не к росту сегодняшнего потребления, а к росту сегодняшних сбережений, которые в дальнейшем, когда государство поднимет налоги с целью компенсировать временное их сегодняшнее снижение, будут проедены. То, что сегодняшнее снижение налогов должно быть компенсировано их последующим ростом, следует из того, что траектория государственного потребления задана экзогенно.

В какой мере данное утверждение применимо к реальности? Из рикардианской эквивалентности следует, что при заданной траектории расходования средств государство не имеет возможности влиять на положение дел в экономике посредством налоговой политики. На самом деле, в реальности, налоговая политика может влиять на экономический рост. Причину несоответствия теории и действительности логично искать в предпосылках модели, позволившей нам сформулировать данное утверждение.
Важные условия для выполнения рикардианской эквивалентности.
1) Гипотеза о совершенном знании будущего.

В реальности потребитель не знает ни свои будущие доходы, ни эволюцию процентной ставки. Т.е. необходимо распространить задачу на модель с неопределенностями. В принципе, если потребитель знает распределение случайных величин и умеет правильно прогнозировать условные математические ожидания, то рикардианская эквивалентность может быть доказана. Но! Реальные потребители не отличаются точным знанием распределений.

2) Отсутствие ограничения ликвидности.

В модели предполагается, что и потребитель, и правительство могут занимать свободно, в любых объемах и по одинаковой ставке процента. В реальности, ограничения ликвидности, особенно потребителей, очень распространенное явление.

3) Единая процентная ставка для всех видов активов.

Правительство и частные агенты имеют разный уровень доверия со стороны кредиторов. Поэтому процентные ставки на разные виды активов, в действительности, различны. Обычно правительство может занимать по более низкой ставке.

4) Бесконечный плановый горизонт.

У каждого агента жизнь конечна. Если сегодня налоги снизились, и я знаю, что прожить мне осталось недолго, то я не буду ждать момента, когда правительство повысит налоги, а проем высвободившиеся средства сегодня.

Но! С другой стороны можно ввести мотив наследования как дополнительный мотив для сбережений. Утверждение о рикардианской эквивалентности в этом случае восстанавливается.

5) Рациональность домовладений.

Агенты на самом деле не ведут себя рациональным образом. Если я склонен пренебрегать своим будущим и будущим потомков, то я не буду руководствоваться этими мотивами при определении текущего потребления.

6) Паушальный налог.

Если рассматривать систему налогообложения в иной форме, то может оказаться, что вывод рикардианской эквивалентности не верен. Любой способ искажающего налогообложения (distortionary taxation) приводит к нарушению эквивалентности централизованной и децентрализованной моделей Рамсея.

Налогообложение процентов с капитала в модели Рамсея

Налогообложение процентных доходов с капитала — это один из вариантов искажающего налогообложения.

Рассмотрим налог, который взимается пропорционально процентным платежам на капитал. Коэффициент пропорциональности , . (5.16)

Пусть государство ничего не потребляет , а только изымает налог и распределяет его между потребителями в виде паушального трансферта .

Тогда бюджетное ограничение потребителя запишется так:

. (5.17)

В равновесии . (5.18)

Однако, потребитель, когда решает свою задачу максимизации полезности, воспринимает как фиксированное число. Связи между и он не отслеживает. Уравнение Эйлера-Лагранжа в такой модели принимает вид:

(5.19)

Если учесть, что в стационарном режиме условие для фондовооруженности :

, то (5.20)

, (5.21)

где – стационарный капитал на душу в исходной модели Рамсея, модифицированное золотое правило.

Потребление же определяется из старого соотношения:

. (5.22)

Таким образом, и потребление, и фондовооруженность в стационарном режиме уменьшились по сравнению со случаем модели Рамсея без правительства.

При этом, централизованная модель Рамсея не претерпевает никаких изменений по сравнению со случаем отсутствия всякого налогообложения, так как, согласно нашему предположению, государство лишь перераспределяет средства, но не потребляет ничего.

То есть стационарное состояние централизованной модели будет в точности соответствовать модифицированному золотому правилу.

Таким образом, искажающий смысл такого налогообложения отражает тот факт, что траектория децентрализованной модели уже не является оптитмальной с точки зрения социального оптимума.

Рассмотрим ситуацию с и . Т.е. мы рассматриваем обратную ситуацию по отношению к предыдущей, а именно, государство субсидирует потребителей пропорционально получаемым ими процентным платежам. Расходы на субсидии при этом покрываются за счет паушального налога с тех же самых потребителей. По аналогии с результатами предыдущего рассмотрения, получим, что в стационарном режиме фондовооруженность вырастает по сравнению с базовой моделью, а изменение потребления будет зависеть от того, как экономика будет расположена относительно точки золотого правила.

Таким образом, экономика может даже достичь золотого правила, изменив политику налогообложения капитала на его дотирование. Однако, соответствует оптимальной траектории развития, и отклонения от него в любую сторону не могут улучшить благосостояние потребителей. В домовладения потребляют больше, чем в , но есть издержки перехода из одного состояния в другое.


Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Решение диф уравнения, которое зависит от параметра iconВопросы к экзамену по курсу "Дифференциальные Уравнения"
Ду высших порядков, решение. Общее решение. Общий интеграл. Промежуточный интеграл. 1-й интеграл. Понижение порядка уравнения с помощью...

Решение диф уравнения, которое зависит от параметра iconЗадача Коши для одномерного волнового уравнения. Метод ”бегущих волн”....
...

Решение диф уравнения, которое зависит от параметра iconВ. Ф. Дмитриев Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
В ряде работ по баллистике им приведены уравнения движения снаряда в атмосфере с учетом сопротивления движению воздуха, уравнения...

Решение диф уравнения, которое зависит от параметра iconПримерные вопросы к диф зачету по «Страхованию»

Решение диф уравнения, которое зависит от параметра iconРешение. 1 Запишем параметрические уравнения поверхности. Вычислим...
Определение. Асимптотическим направлением в данной точке поверхности называется направление, касательное к нормальному сечению с...

Решение диф уравнения, которое зависит от параметра iconУрока «Решение упражнений по теме «Неметаллы»
Цель урока: систематизация, закрепление и обобщение знаний учащихся по теме «Неметаллы»; отработать умения учащихся составлять уравнения...

Решение диф уравнения, которое зависит от параметра iconМетодические указания и задания к контрольным работам студентов III
Уравнения математической физики – это дифференциальные уравнения относительно функции двух или трех переменных и частных производных...

Решение диф уравнения, которое зависит от параметра iconОсновными составляющими счастья являются хорошая работа, хорошая...
...

Решение диф уравнения, которое зависит от параметра icon«Будьте осторожны с желаниями, они могут сбыться»
Вселенной, как авангард научного знания в самом широком смысле зависит от уровня развития фундаментального знания, которое объединяет...

Решение диф уравнения, которое зависит от параметра iconОсновные положения
Непонима­ние концепций и методик расчетов, применяемых при опре­делении стоимости ценной бумаги, не позволит менеджеру принять обоснованное...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
edushk.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов