Исследовательская работа «геометрия и человеческое тело»




Скачать 176.38 Kb.
НазваниеИсследовательская работа «геометрия и человеческое тело»
Дата публикации02.08.2016
Размер176.38 Kb.
ТипИсследовательская работа
edushk.ru > Математика > Исследовательская работа


МУНИЦИПАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №17 Г.КАНСКА



ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

«ГЕОМЕТРИЯ И ЧЕЛОВЕЧЕСКОЕ ТЕЛО»



Выполнила:

Идигешева Анастасия

^ Ученица 7 класса





Научный руководитель:

Творозова Елена Сергеевна

Учитель математики


Канск, 2013

Содержание

Введение. ……………………………………………………………………………………………..3

Формула красоты………………………………………………...……………………………….…..4

Глава 1. «Золотое сечение» в математике. Числа Фибоначчи………………………….…………6

Глава 2. Тело человека и «Золотое сечение»……………………………………………………….9 ЗАКЛЮЧЕНИЕ,ВЫВОДЫ……………………………………………………………………….…12
Список литературы………………………………………………………………………………….25



Введение
Изучая в школе математику, мы часто слышим, что без знания этой науки никак не обойтись в современной жизни. Но взгляните на странички наших учебников!

Где они, эти пропорции, корни, пирамиды, синусы в окружающей нас действительности?

Где же они прячутся – эти числа и математические закономерности во всём, что нас привлекает? А что же нас привлекает в жизни? Всё красивое и гармоничное! Но тогда как же это связано между собой - красота, гармония и … математика?

Я обратились к современному источнику информации – к Интернету. И обнаружила, что за высшее проявление совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе «отвечает» принцип «золотого сечения».

Бесконечный ряд после запятой — 1,6180339887...

Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое — все подчиняется божественному закону, имя которому — «золотое сечение».

^ Так что же такое «золотое сечение»?..

Что это за идеальное, божественное сочетание?

Может быть, это закон красоты?

Или все-таки он — мистическая тайна?

Научный феномен или этический принцип?

Ответ неизвестен до сих пор. Точнее — нет, известен.

«Золотое сечение» — это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно... И в этом его подлинная загадка, его великая тайна.

Мы захотели узнать о тайнах “золотого сечения”. Результатом нашей деятельности и явилась данная исследовательская работа.
^ Объект исследования: человек.

Предмет исследования: форма и строение человека.

Цель исследования:

выявить принципы применения «золо­того сечения» человеческом теле, и проверить гармонию числовыми закономерностями.

Задачи работы:

  • описать геометрический смысл «золотого сечения»;

  • проследить этапы исторического возникновения «золотого сечения» в науке;

  • исследовать принципы и возможности практического при­менения «золотого сечения»;


Гипотеза: За красоту и гармонию в природе «отвечает» математика.

Методы исследования:

  • эмпирический (наблюдение, эксперимент, измерение).

  • теоретический (логическая ступень познания).




  • Гипотеза: За красоту и гармонию в природе «отвечает» математика. То есть особые числовые закономерности существуют во всем, что нас окружает.


^ Формула красоты.



“Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении … Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень”.
Иоганн Кеплер.
С давних пор человек стремится окружать себя красивыми вещами.

На определенном этапе своего развития человек начал задаваться вопросом: почему тот или иной предмет является красивым и что является основой прекрасного? Ещё у древних греков родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония.
О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий — свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» — это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы «золотого сечения», спасаясь от Дьявола. При этом ученые — от Пачоли до Эйнштейна — будут искать, но так и не найдут его точного значения.

Красота скульптуры, красота храма, красота картины, симфонии, поэмы... Что между ними общего? Разве можно сравнивать красоту храма с красотой ноктюрна? Оказывается можно, если будут найдены единые критерии прекрасного, если будут открыты общие формулы красоты, объединяющие понятие прекрасного самых различных объектов - от цветка ромашки до красоты человеческого тела...". И эта формула – формула золотого сечения – некий универсальный информационный код красоты, соединяющий разные искусства и разные века в интуитивном постижении прекрасного.
Эта формула отвечает такому делению целого на две части, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части. Эту пропорцию называли по-разному - "золотой", "божественной", "золотым сечением", "золотым числом". Она оказалась близкой к 1,6.
Золотая пропорция встречается в конфигурации растений и минералов, строении частей Вселенной, музыкальном звукоряде. Ее используют в архитектуре, скульптуре, живописи, науке, вычислительной технике.
Шедеврами архитектуры являются многие русские храмы, которые строились на протяжении нескольких столетий. Трудно найти человека, который бы не знал собор Василия Блаженного. Его пропорции соответствуют золотой.
Можно ожидать, что в строении стихотворений проявятся некоторые черты музыкальных композиций, закономерности музыкальной гармонии, а, следовательно, и золотая пропорция. Стихи А. С. Пушкина занимают особое место, остаются непревзойденными в русской поэзии. Каждый стих обладает своей музыкальной формой - своей ритмикой и мелодией. Размер стиха у А. С. Пушкина, число строк в нем выступают не как произвольные или случайные величины. Они не изменяются от наименьшей к наибольшей непрерывно, а имеют некоторые частотные максимумы. В метрике стихов А. С. Пушкина преобладают числа Фибоначчи.
Алгеброй можно поверить не только гармонию архитектуры и поэзии, но и гармонию музыки.
Простой математический анализ, не выходящий за рамки арифметики, позволяет совершенно иными глазами взглянуть на музыкальное произведение, увидеть его скрытую внутреннюю красоту, которую мы только ощущаем, слушая произведение.
В композиции многих музыкальных произведений отмечается наличие некоторого «кульминационного взлета», высшей точки. Такая высшая точка крайне редко расположена в центре произведения, обычно она смещена, асимметрична. Изучая произведения Баха, Бетховена, Шопена, Скрябина можно установить, что во многих из них вершина, или высшая точка находится в точке золотого сечения.
Характерно, что в некоторых случаях авторы музыкальных произведений смещали их вершину от точки золотого сечения, что придавало мелодиям неустойчивый характер.
Итак, можно признать, что золотая пропорция является критерием гармонии композиции музыкального произведения.
Древние скульпторы знали и использовали золотую пропорцию как критерий гармонии, канон красоты, корни которой лежат в пропорциях человеческого тела. Эталонами красоты человеческого тела, образцами гармонического телосложения издавна и по праву считаются великие творения греческих скульпторов. Центр золотой пропорции строения человеческого тела располагался точно на месте пупка. Широкие плечи почти равны высоте туловища, высота головы восемь раз укладывается в высоте тела, а золотой пропорции отвечает положение пупка на теле мужчины.
На протяжении многих столетий человек в своем творчестве учился у природы, постигая законы её гармонии, её красоту. Он жил в духовном единстве с природой, и это создавало благодатную почву для его творчества.

Многие ученые абсолютизировали пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства.

Универсальная формула, которой подчиняются законы природы и законы красоты творений человека – формула золотого сечения.

^ 1. Золотое сечение в математике.
Теорему Пифагора знает каждый, а вот что такое “золотое сечение” – далеко не все. Расскажем вам об этом “драгоценном камне”.

Итак – “золотое сечение” – это такое деление целого на две неравные части, при котором

целое так относится к большей части, как большая к меньшей.

Рассмотрим деление отрезка на части в отношении равном “золотому сечению”.

Пусть точка М делит отрезок АВ в золотом отношении.


Такое обозначение принято в честь древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V веке до н.э.

Итак “золотое сечение” – это иррациональное число, оно приблизительно равно 1,618.
Задача 1. Возьмите отрезок длиной 10 см и разделите его приблизительно в золотом отношении.

(6,2 см и 3,8 см) одна часть отрезка больше другой в 1,6 раза.

Части “золотого сечения” составляют приблизительно 62% и 38% всего отрезка.

В эпоху Возрождения “золотое сечение» было очень популярным среди художников, скульпторов, архитекторов. Так, выбирая размеры картины, художники старались, чтобы отношение ее сторон равнялось Ф. Такой прямоугольник стали называть “золотым”.
Задача 2. Построим золотой прямоугольник.

Начертим квадрат и разделим его на два равных прямоугольника.

В одном из прямоугольников проведем диагональ АВ.

Циркулем проведем окружность радиуса АВ с центром в точке А.

Продолжим основание квадрата до пересечения с дугой в точке Р и проведем под прямым углом вторую сторону искомого прямоугольника.



Измерьте линейкой длины сторон построенного прямоугольника MNKP и вычислите отношения большей стороны к меньшей. (Отношение сторон должно быть примерно равно 1,6).
Но как же разделить отрезок в золотом отношении?
С помощью непосредственных измерений сделать это невозможно, поскольку число Ф–иррациональное. Древние мастера использовали циркуль и линейку, причем были найдены различные способы построения. Рассмотрим один из них, самый простой.

Пусть дан отрезок АВ, и надо осуществить его “золотое сечение”. Проведем перпендикуляр к отрезку АВ (будем считать, что АВ=1) и отложим на нем отрезок ВД = 2АВ. Из точки Д проведем окружность радиусом ДК, где ДК=АВ.

Проведем окружность с центром в точке А и радиусом АЕ=1/2АК. Она пересечет отрезок АВ в точке С золотого сечения.


Итак, найдена, казалось бы, совершенно ординарная точка на обычном отрезке. А между тем ею обеспечивается присутствие красоты, соразмерности всех частей.

Числа Фибоначчи.
Ответ на этот вопрос сокрыт в удивительных числах, которые были открыты итальянским математиком средневековья Леонардо Пизанским, более известным под именем Фибоначчи (род. ок. 1170 - умер после 1228), итальянский математик. Путешествуя по Востоку, познакомился с достижениями арабской математики; способствовал передаче их на Запад. Основные работы "Liber Abaci" (1202) - трактат об арифметике (индийские цифры) и алгебре (до квадратных уравнений), "Practica Geometriae" (1220).
После его открытия числа эти так и стали называться именем известного математика. Удивительная суть последовательности чисел Фибоначчи состоит в том, что каждое число в этой последовательности получается из суммы двух предыдущих чисел. 2
Числа, образующие последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ... называются "числами Фибоначчи", а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи.
В числах Фибоначчи существует одна очень интересная особенность. При делении любого числа из последовательности на число, стоящее перед ним в ряду, результатом всегда будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875... и через раз то превосходящая, то не достигающая его.
Более того, после 13-ого числа в последовательности этот результат деления становится постоянным до бесконечности ряда… Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне в наши дни именуется как золотое сечение, золотое сpеднее или золотая пропорция.

В алгебpе это число обозначается гpеческой буквой фи (Ф)

Итак, Золотая пропорция = 1 : 1,618
233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618
^ Было установлено, что числовой ряд чисел Фибоначчи характеризует структурную организацию многих живых систем.

Например, винтовое листорасположение на ветке составляет дробь (число оборотов на стебле/число листьев в цикле, напр. 2/5; 3/8; 5/13), соответствующую рядам Фибоначчи. Хорошо известна "золотая" пропорция пятилепестковых цветков яблони, груши и многих других растений. Носители генетического кода - молекулы ДНК и РНК - имеют структуру двойной спирали; ее размеры почти полностью соответствуют числам ряда Фибоначчи.

Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения.

^ 2. Тело человека и «золотое сечение».
Удивительно то, что и человек в соотношении отдельных частей тела и расстояний между ними, подчиняется законам "золотого сечения".

Немецкий учёный Альберт Дюрер доказал, что рост человека делится в золотых пропорциях линией, проходящей через пупок и линией, проходящей через кончики средних пальцев опущенных рук.

Его труды продолжил Цейзинг. Он выяснил, что пропорции мужского тела колеблются в пределах 13 : 8 = 1, 625.

А пропорции женского тела в среднем находятся в соотношении 8 : 5 = 1,6.

Пропорции "золотого сечения" проявляются в отношении длины плеча, предплечья, кисти и пальцев и т.д.

Поразительно, но в лице человека можно проследить множество пропорций, подчиненных "золотому сечению". Причем, чем больше в лице человека соотношений в этой пропорции, тем красивее нам он кажется. Есть лица, при характеристике которых употребляют выражение "правильные черты лица". У этих людей основные пропорции наиболее близки к соотношению 1, 618: или 62 : 38.

Какие же пропорции в лице человека стремятся к "золотому сечению"?

Прежде всего, у людей с красивыми лицами наблюдается:

Идеальная пропорция между расстояниями от медиального угла глаза до крыла носа и от крыла носа до подбородка. Это соотношение называется "динамической симметрией" или "динамическим равновесием".

Соотношение высоты верхней и нижней губы будет 1,618:

Высота надгубной складки и высота губ будут составлять соотношение 62 : 38:

Ширина одной ноздри суммарно с шириной переносицы относится к ширине другой ноздри в пропорции "золотого сечения".

Ширина ротовой щели также относится к ширине между наружными краями глаз, а расстояние между наружными уголками глаз - к ширине лба на уровне линии бровей, как все пропорции "золотого сечения".

Расстояние между линией верхней части лба до линии зрачков и расстояние между линией зрачков и линией смыкания губ имеет пропорцию "золотого сечения"

Получается, правильную красоту можно математически просчитать и даже прибегнуть к хирургической корректировке с целью совершенствования внешности.

В настоящее время стоматология, занимается не только лечением заболеваний полости рта, но и эстетической медициной.

Удивительно, но и в стоматологии можно проследить пропорции "золотого сечения".

Красивая улыбка - это не только белоснежные здоровые ровные зубы, но и их правильное соотношение и расположение. И здесь мы опять сталкиваемся с закономерность "золотого сечения"

Вот некоторые примеры соотношений размеров и расстояний между зубами:

Ширина верхнего центрального резца относится к ширине нижнего центрального резца, как 62 : 38, т.е. 1, 618:, в соотношении "золотого сечения"

В этой же пропорции находится ширина двух верхних резцов к ширине двух нижних.

Расстояние между премолярами верхней челюсти относится к ширине четырёх верхних резцов, как 62 : 38:



И этот список можно продолжить:

Как же на практике можно использовать знание о "золотом сечении" и его влиянии на параметры в стоматологии?

Разумеется, искать применение золотых пропорций в эстетической стоматологии.

Расположение, размер и взаимное соотношение зубов в полости рта - всё это подчинено общему закону - "золотому сечению".

Вольно или невольно, врач использует эти пропорции при восстановлении коронковой части зуба, при протезировании или ортодонтических мероприятиях. Лучше, конечно, чтобы врач применял математическую составляющую в формировании вашей красоты и здоровья.

Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения.
Золотые пропорции в фигуре человека
Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными.

  • Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.

  • Расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618

  • Расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618

  • Расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618

  • Расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618


Золотые пропорции в чертах лица человека




  • Расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618

  • Расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618

  • Высота лица / ширина лица

  • Центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа.

  • Высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ

  • Ширина рта / ширина носа

  • Ширина носа / расстояние между ноздрями

  • Расстояние между зрачками / расстояние между бровями


Золотые пропорции кисти человека


  • Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения.

  • Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг. Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца).

  • Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения

  • У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.



Собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора.

Закономерности «золотой» симметрии проявляются и в генетическом коде человека. В «золотых» соотношениях находятся показатели артериального давления, пульса и дыхания. Циклическим колебаниям в «золотой» пропорции подвержены многие другие показатели человеческого организма, даже соотношение периодов сна (медленный сон – быстрый сон), находятся в пропорциях, близких к «золотым». Господь, как величайший художник наделил нас не только совершенным организмом, но и дал нам определенный «запас прочности». Причем этот запас дан в точном соответствии с «золотым сечением». ( Например, если по какой-то случайности на 1/3 пересекается человеческий нерв, то его функция сохраняется.)
Теперь я знаю, что человек - только часть живого мира на нашей планете, подчиняющийся общим законам мирозданья. И доказательство тому - учение о "золотом сечении", дошедшее до нас из глубины веков.


Заключение
Симметрия, я гимн тебе пою!

Тебя повсюду в мире узнаю.

Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке,

Ты в ёлочке, что у лесной дорожки,

С тобою в дружбе и тюльпан, и роза,

И снежный рай – творение мороза!

Я изучила динамическую симметрию, которая называется божественной пропорцией или «золотым сечением».

Проанализировали проявления «золотого сечения» в окружающей нас действительности, а также научные открытия о существовании «зо­лотой пропорции» в различных областях нашей жизни и я отмечаю, что:

  1. «Золотое сечение» является основной пропорционально­стью мира;




  1. «Золотое сечение» является оптимальным кодом живой природы;




  1. С расширением области знаний человечества резко увеличилось количество сфер, где наблюдается феномен золотой пропорции. Это биология и зоология, экономика, психология, кибернетика, теория сложных систем, и даже геология и астрономия.


Подчеркнём также, что для наиболее оптимального, гармоничного, естественного построения чего-либо искусствен­ного (то есть созданного человеком), вероятно, также требуется использование «золотого сечения».
Для доказательства приведём некоторые научные факты, которые были открыты благодаря «золотому сечению»:


  • пояс астероидов между Марсом и Юпитером - по пропор­ции там должна находиться еще одна планета;

  • возбуждение струны в точке, делящей ее в отношении «зо­лотого деления», не вызовет колебаний струны, то есть это точ­ка компенсации;

  • на летательных аппаратах с электромагнитными источни­ками энергии создаются прямоугольные ячейки с пропорцией «золотого сечения».


Таким образом, наша гипотеза о существовании особых числовых закономерностей, которые отвечают за гармонию, подтверждается. В данной работе мы алгеброй проверили множество гармоний!
Выводы:
Я убедились, что все-таки существует связь между математикой, а именно геометрией с человеческим телом. Природа совершенна, и у нее есть свои законы, выраженные с помощью математики.

Меня поразил тот факт, что даже планеты солнечной системы обращаются вокруг солнца по орбитам с «золотым сечением», а Земля имеет самую совершенную орбиту из всех планет. Это доказали с помощью математики!

Узнала, что и человек в соотношении отдельных частей тела и расстояний между ними, подчиняется законам "золотого сечения". И даже в его генетическом коде заложены закономерности золотой симметрии.

Эти свойства не выдуманы людьми. Они отражают свойства самой природы. А один из важных инструментов для познания тайн природы – это математика. Эти свойства не выдуманы людьми. Они отражают свойства самой природы. А один из важных инструментов для познания тайн природы – это математика.


Явления всей вселенной подчинены определенным числовым соотношениям. Число-это закон и связь мира, сила, царящая над богами и смертными. Все упорядочивается в соответствии с числами. Эта основа учения Пифагора актуальна и в наши дни!

Литература
Корбюзье Л. Модулор.-М,. 1976.

Хембидж Д. Динамическая симметрия в архитектуре.-М,. 1936.

Шевелев И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. Золотое сечение/Три взгляда на природу гармонии.-М., 1990.

Dubner H., Keller W. "New Fibonacci and Lucas primes," Math. Comp., 68:225 (1999) 417--427, S1--S12. MR 99c

Proportions in Music //Fibonacci Quarterly vol 2 (1964) pages 219-222

Howat R. Debussy in Proportion : A Musical Analysis

http://evolutionoftruth.com/goldensection/music.htm

Лосев А.Ф. Эстетика Возрожденния.-М., 1978.

Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи/ Учебное пособие.-К., 1986.

Мещеряков В.Т. Гармония и гармоническое отношение.-Л., 1976.

Петрович Д. Теоректики пропорций.-М., 1979.

Шестаков В.П. Гармония как эстетическая категория.-М,. 1973.

Петухов С.В. Биомеханика, бионика и симметрия.-М., 1984.

Doczi G. The power of limite. Proportional harmonies in nature, art and architecture.-London, 1981.

http://www.math.smith.edu/~phyllo/index.html

Frost A.J., Prechter R.R. Jr. Elliot Wave Principle: Key to Stock Market Profits. New Classics Library, Gainseville, Georgia, 1985.

Fisher R. Fibonacci Applications and Strategies for Traders, New York, John Wiley & Sons, Inc., 1993.

Fechner G. T. Vorschule der Aesthetik. Breitkopf & Huartel, Lipsia, 1876.

Соколов А.А., Соколов Я.А. Математические закономерности электрических колебаний мозга.-М., 1977.

Prechter R R. The Wave Principle of Human Social Behavior and the New Science of Socionomics. New Classics Library, Gainseville, Georgia, 1999.

Стахов А.П. Коды золотой пропорции.-М,. 1984.

http://evolutionoftruth.com/abennett http://evolutionoftruth.com/goldensection/solarsys.htm

http://www.goldenmuseum.com/

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott

http://goldennumber.net/

http://goldennumber.net/creditcard.htm

Zeising A. Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Korpers. Leipzig, 1854..

Mandelbrot B. The Fractal Gometry of Nature / Benoit B. Mandelbrot.San Francisco : W.H. Freeman, 1982.

Шубников А. В., Копцик В. А. Симметрия в науке и искусстве. -М.: Наука, 1972.

http://milan.milanovic.org/math/english/golden/golden2.html

http://goldennumber.net/dna.htm

http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/N-6-html/CVETKOV-1/cvetkov-1.html

Цветков В. Д. Сердце, золотое сечение и симметрия. - Пущино: ПНЦ РАН, 1997.

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html

Harris A. K., ‘‘Multicellular Mechanics in the Creation of Anatomical Structures,’’



Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Исследовательская работа «геометрия и человеческое тело» iconИсследовательская работа «Тайна имени». Выполнила ученица 6 класса...
Научно-исследовательская деятельность в Мокрушинской школе Канского района Красноярского края

Исследовательская работа «геометрия и человеческое тело» iconМатериалы для выполнения арт-терапевтических упражнений
В ряде арт-терапевтических техник в качестве основного пластического материала выступает человеческое тело (боди-арт, пантомима,...

Исследовательская работа «геометрия и человеческое тело» iconБесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. Предисловие
Трудно назвать в какой-либо другой части геометрии теоремы, которые проще всего доказать используя методы и идеи теории групп, а...

Исследовательская работа «геометрия и человеческое тело» iconИсследовательская работа по истории «Внешняя политика Ивана Грозного»....

Исследовательская работа «геометрия и человеческое тело» iconПрограмма дисциплины геометрия Цикл ен. Ф. Специальность : 013800 Радиофизика и электроника
Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение дисциплины "Геометрия"

Исследовательская работа «геометрия и человеческое тело» iconТезисы из названного пособия
Перечень письменных работ студента 3 курса очного отделения включает в себя четыре вида заданий: исследовательская работа, сопоставительный...

Исследовательская работа «геометрия и человеческое тело» iconУроку математики
Вся элементарная математика Средняя математическая Интернет-школа. Темы: Арифметика, Алгебра, Геометрия, Тригонометрия, Функции и...

Исследовательская работа «геометрия и человеческое тело» iconРабочая учебная программа базового курса «Геометрия»
РФ, реализующих программы общего образования» и авторской программы по геометрии Погорелова А. В. входящей в сборник программ «Программы...

Исследовательская работа «геометрия и человеческое тело» iconЛекции
Сансара – учение о переселении душ и есть у него механизм – бхавачкара. Всё находится в вечном круговороте, всё живое имеет и тело...

Исследовательская работа «геометрия и человеческое тело» iconЛюбовь Артемьева
Сегодня моя исследовательская работа охватывает следующие дисциплинарные области

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
edushk.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов