Контрольная работа № 12 для ЗРФ — Методические указания и задания к контрольным работам студентов III

Контрольная работа № 12 для ЗРФ
Тема: «Элементы теории функций комплексного переменного»
Краткие теоретические сведения.
Комплексное число . i – мнимая единица, , т.е. . х, у – любые действительные числа; х – действительная часть, а у – мнимая часть комплексного числа.
Запись: .
Комплексное число представляется точкой плоскости хоу (комплексной плоскости z).
Тригонометрическая форма комплексного числа , где – модуль, . – аргумент комплексного числа z. . .
Показательная форма комплексного числа .
и т.д. .
Пусть .
1.5.1 .
1.5.2 .
1.5.3 .
1.5.4 .
Функция комплексного переменного.
Пусть , функция может быть представлена в виде двух действительных функций u и v от действительных переменных х и у. , .
Примеры: 1) , тогда ;
2) .
Элементарные функции комплексного переменного.
Степенная функция , n – целое, положительное число.
Пусть , тогда .
– корень целой положительной степени, если , то – n-значная функция при .
Показательная функция.
Пусть , .
. – бесконечнозначная функция.
Тригонометрические функции.
Пусть . .
Производная функция комплексного переменного.
Пусть определена и однозначна в некоторой окрестности точки .
, где – приращения.
Если имеет производную во всех точках области D, то называется аналитической в области D. Точки плоскости z, в которых не определена или не является аналитической, называются особыми.
Необходимые и достаточные условия аналитичности функции (условие Коши-Римана или Эйлера-Даламбера). Однозначная функция , где аналитична в точке z и её окрестностях, тогда и только тогда, когда и .
Для нахождения производной применяются обычные правила дифференцирования.
Ряд Лорана для функции с центром в точке имеет вид.
5.1.
или
5.2. Приёмы разложения функции в ряд Лорана в окрестности точки .
5.2.1. Используют разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций, беря
5.2.2. Если надо получить разложение функции в окрестности , то надо представить функцию в двух областях аналитичности:
1) внутри круга с центром в точке b, радиуса .
, можно воспользоваться табличным рядом Маклорена (6) для при .
2) вне круга с центром в точке b, радиуса .
, можно воспользоваться табличным рядом Маклорена (6) для при , т.е. .
5.2.3. Разложения для можно получить продифференцировав ряд для , т.к. .
5.2.4. Часто надо предварительно преобразовать разлагаемую в ряд функцию, применив формулы: ; ; . Например, если надо разложить в окрестности .
5.2.5. Рациональную дробь надо представить в виде суммы простейших дробей
. А1 и А2 получим, приведя правую часть тождества к общему знаменателю и приравняв числители дробей слева и справа.
. Получим систему уравнений относительно А1 и А2 .
Примеры выполнения заданий
контрольной работы № 12 для ЗРФ
Пример к заданию № 1:
а) Представить функцию , где в виде ;
б) Проверить, является ли она аналитической;
в) Если – аналитическая, то найти производную в точке .
а)
Следовательно, ; .
б) Проверяем аналитичность по формулам Коши-Римана (по 4.3) и . Напомним, что беря частную производную по одной переменной, считаем другую переменную – постоянной.
(х – постоянная, тогда — тоже постоянная)
Очевидно, .
(у – постоянная).
Как видно . Следовательно, функция аналитическая всей комплексной плоскости z.
в) Находим производную в точке . .
Пусть , тогда .
По (3.3) ;
.
К заданию № 2 дадим 3 примера:
Пример 1 к заданию № 2:
Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки .
Надо получить разложение по степеням .
. По правилу 5.2.5. ;
; или ;
; .
Разложим в ряд функцию по 5.2.2
Внутри круга с центром в точке радиуса .
при можно воспользоваться формулой (6) рядов Маклорена для .
Тогда при .
Вне круга с центром в точке радиуса .
при по формуле (6) для рядов Маклорена для .
и
, при .
Пример 2 к заданию № 2:
Разложить функцию в окрестности точки . Воспользуемся формулой (3) таблицы рядов Маклорена для .
Пример 3 к заданию № 2:
Разложить функцию в окрестности точки .
Преобразуем .
Воспользуемся формулами (2) и (3) таблицы рядов Маклорена для .
Приложения к контрольной работе № 12
I Таблица основных производных
, – функции от х , с, а, const – постоянные числа,
1–1) ; 1–2) ; 1–3) ; 1–4) ;
1–5) .
Основные правила дифференцирования
2–1) ; 2–2) ; 2–3) (с – число); 2–4)
II Таблица рядов Маклорена в окрестности , – функция от z,

Ряд
Интервал
сходимости
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Оцените статью
Добавить комментарий