Методическое пособие для учителя 9-11 классы Министерство образования и науки Российской Федерации

ТРОИЦКИЙ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫЙ ЛИЦЕЙ
9-11 классы
Министерство образования и науки Российской Федерации
Мельникова Ю.Б.
Статистическая обработка результатов учебно-исследовательской деятельности учащихсяТроицк 2009Мельникова Ю. Б. Статистическая обработка результатов учебно-исследовательской деятельности учащихся: Методическое пособие для учителя. –Троицк, УГАВМ, 2009. — 51 с.Данное пособие поможет реализовать программу курс «Статистическая обработка результатов учебно-исследовательской деятельности учащихся». Пособие рассчитано на учащихся 9-11 профильных классов школ, лицеев и школ с углубленным изучением математики. Оно будет полезно для учителей математики, занимающихся ее прикладными вопросами.Рецензенты:С. А. Старченко, профессор, доктор педагогических наук, директор МОУ «Лицей № 13».Р. Х. Галеева, учитель математики МОУ «Лицей № 13», учитель высшей категории.© Мельникова Ю.Б.Методические рекомендации к изучению элективного курса «Статистическая обработка результатов научно-исследовательской деятельности учащихся» составлены в соответствии с программой курса и содержат практические рекомендации для учителя. Поскольку изучение элементов теории вероятностей и математической статистики с некоторых пор отражено в стандарте математического образования, то логично начинать с напоминания об обязательном минимуме содержания образо­вания по соответствующей теме, основываясь на авторитетном мнении авторов курса «Вероятность и статистика в курсе математики общеобразовательной школе» Е.А. Бунимовича и Е. А. Булычева.

Основные понятия: Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения. Равновозможные события и подсчет их вероятности.
Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества. Формулы числа перестановок, со­четаний, размещений. Решение комбинаторных задач. Решение практи­ческих задач с применением вероятностных методов.
Уже признано, что главная причина неудач комбинаторики в школе — стремление с первых шагов сделать акцент не на составлении, а на под­счете комбинаций. Перечислительные задачи, безусловно, должны пред­шествовать задачам подсчета или идти параллельно с ними. Именно такой подход принят в там, где изучение комбинаторики начинается с перечисле­ния комбинаций различного вида. Для этих целей используются деревья, обсуждается логика перебора, рассматриваются различные виды комби­наций (без специальных терминов и формул для их подсчета).
Перебором. Чтобы перечис­ление не было стихийным (а в этом случае мы рискуем упустить какие-то комбинации), предлагается ввести на комбинациях отношение по­рядка. Наиболее естественным здесь является лексикографический по­рядок, хорошо знакомый школьникам по работе с обычным словарем.
В качестве рабочего инструмента, аналогичного рассмотренной ра­нее схеме решения задач на классическую вероятность, можем предло­жить следующую общую схему решения переборных задач:
1. Придумать обозначения элементов, участвующих в комбинациях (если это не числа или буквы).2. Выписать первую комбинацию и несколько следующих за ней.3. Выписать последнюю комбинацию и несколько предшествующих ей.4. Выписать произвольную комбинацию. Найти непосредственно ей предшествующую и следующую за ней.5. Сформулировать правило, по которому ищется следующая комби­нация в общем случае.Третий шаг в этой схеме интересно организовать в форме коллектив­ного соревнования: кто быстрее найдет следующую комбинацию. Отве­ты, которые предлагают ученики, либо сразу отбрасываются (комбина­ция оказывается меньше заданной), либо остаются в качестве претен­дента на ответ (кто найдет комбинацию между заданной и предложен­ной?) — пока не будет найден правильный ответ. Четвертый шаг наибо­лее сложный и требует от учащихся достаточно высокой математичес­кой и алгоритмической культуры.В данном разделе вводятся главные правила для подсчета комбина­ций: правило умножения и правило сложения. Собственно, правилом как таковым можно считать только правило умножения. Правило сло­жения — это скорее один из методов решения комбинаторных задач. Если для подсчета комбинаций не идет правило умножения (не понятно, на что умножать на следующем шаге) — попытайтесь использовать пра­вило сложения: поделить комбинации на непересекающиеся классы, посчитать число комбинаций внутри каждого класса, а потом сложить эти числа.
Умение перебирать комбинации и находить их число с помощью правил умножения и сложения — основа комбинаторной культуры школьника и залог успешного решения большинства комбинаторных задач. Эти умения должны быть сформированы в основной школе. Стар­шая школа предусматривает знакомство ученика с основными типами комбинаций.
С перестановок, как правило, начинается знакомство с основными типами комбинаций. Подсчет числа перестановок не вызывает затрудне­ний у школьников и является прекрасной иллюстрацией правила умно­жения.
Гораздо сложнее оказывается задача перебора всех перестановок. В лекции приведен пример, в котором предлагается выписать для данной перестановки непосредственно следующую за ней. Замечательно, если учащиеся смогут самостоятельно сформулировать общее правило пере­бора перестановок. Ну, а если в классе есть ученики, увлекающиеся программированием, то им можно предложить составление программы перебора перестановок.
Размещения обобщают понятие перестановки. Для решения веро­ятностных задач они играют еще большую роль, чем перестановки, поскольку именно на них строится схема выбора без возвращения: из М объектов друг за другом вынимают без возвращения N объектов. Каждый исход такого опыта — это и есть размещение из М по N. Как и для перестановок, число размещений легко находится по правилу умножения.
При подсчете числа перестановок и размещений школьники впервые сталкиваются с факториалом. Самое время уделить ему здесь немного внимания, поговорить о его замечательных свойствах. Обязательно нужно показать учащимся, как быстро растут значения N!, вычислив несколько первых значений и оценив их величину при больших N. Хорошая задача для программистов — написать программу, которая выписывает все цифры числа 100! (для математиков — найти количество нулей в конце этого числа).
В этом разделе мы предлагаем наряду с традиционными правилами умножения и сложения ввести в рассмотрение незаслуженно «обижен­ные» два других комбинаторных правила — вычитания и деления. Как и правило сложения, это скорее общие методы решения задач: правило вычитания следует применять, когда легче посчитать комбинации, кото­рые не обладают заданным свойством, а правило деления — когда при умножении одна и та же комбинация считается многократно (но при этом каждая комбинация — одно и то же число раз).
Далее в разделе вводятся сочетания — пожалуй, самый важный для вероятностных задач тип комбинаций. Если без формул для числа пере­становок и размещений, вообще говоря, можно обойтись — достаточно знать правило умножения, — то без формулы для числа сочетаний ре­шить многие вероятностные задачи будет весьма затруднительно. На со­четаниях строится схема с одновременным выбором предметов: из М объектов одновременно вынимают наугад N объектов. Каждый исход такого опыта — сочетание из М по N.
При переборе сочетаний нужно учитывать, что сочетания отличаются друг от друга только составом предметов — значит, порядок элементов внутри сочетания не важен. Для этого при выписывании сочетания сле­дует всегда располагать все его элементы по возрастанию.Материал этого раздела служит своеобразным «оправданием» тех трудностей, которые приходится преодолевать при изучении комбинато­рики. Именно здесь содержится наибольшее количество интересных ве­роятностных задач с нетривиальным решением и интересным практичес­ким содержанием.В приведенных примерах разбираются случайные опыты, исходы ко­торых представляют собой рассмотренные перед этим типы комбинаций: перестановки, размещения, сочетания. Ключевым шагом в решении та­ких задач является, как правило, определение типа комбинации, после чего подсчет вероятности становится делом техники.Теория вероятностей, как никакая другая область математики, дает для этого богатейший материал. Кроме того, она предоставляет реаль­ную возможность проверить адекватность выбранных моделей на прак­тике: для этого достаточно провести серию соответствующих экспери­ментов и сверить найденную вероятность с частотой. Здесь неоценимую помощь может оказать компьютер, снабженный соответствующим про­граммным обеспечением.

Изучение этой темы можно разделить на несколько блоков.
I. Основные понятия: Понятие и примеры случайных событий. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятно­сти. Представление о геометрической вероятности. Элементарные и сложные события. Вероятность и статистическая частота наступления события. Решение практических за­дач с применением вероятностных методов. Поочередный и одновре­менный выбор нескольких элементов из конечного множества.
Знакомство с вероятностно-статистическим материалом начинается с трех важнейших понятий, предваряющих определение вероятности: слу­чайный опыт, случайное событие, элементарный исход.
Е.А. Бунимович и Е. А. Булычев в своей программе рекомендуют начинать знакомство со случайными событиями уже в 5-м классе, справедливо полагая, что в этом возрасте закладываются основы вероятностной интуиции, позволяющие впоследствии усвоить формальные методы вычисления вероятностей. В этот период ученик должен получить общее представление о случайном событии, научиться выделять невозможные и достоверные события.
На более позднем этапе, в 5-7-х классах, появляется понятие случай­ного эксперимента, в контексте которого рассматривается любое слу­чайное событие. Одновременно с этим возникает представление о его возможных исходах. Первоначальное знакомство с этими понятиями про­исходит на нематематическом языке, поэтому главной задачей учителя является разъяснение их существенных признаков, о которых в основ­ном и идет речь в первом разделе нашей лекции. В результате знаком­ства с этими понятиями ученик должен научиться различать случайные и неслучайные опыты; отличать элементарные события (исходы) от не­элементарных.
Особое внимание следует уделить обсуждению «элементарности» исходов, поскольку непонимание этого признака повлечет дальше неиз­бежные ошибки при вычислении вероятностей.
Принципиальным моментом этого раздела является переход от сло­весного описания событий и экспериментов к теоретико-множественному. Включение элементарных понятий из теории множеств в обяза­тельный минимум школьного образования делает такой переход не толь­ко возможным, но и крайне полезным как для самой теории вероятно­стей, так и для дальнейшего закрепления основных теоретико-множественных понятий и операций. На этом этапе ученики должны уметь:
• перечислять все возможные (в случае их большого количества — некоторые) исходы опыта, используя для этого их естественные обозна­чения;
• строить по словесному описанию события соответствующее мно­жество благоприятных исходов;
• переходить от события, представленного в виде множества исхо­дов, к его словесному описанию (понимая, что такой переход неодно­значен).
При рассмотрении примеров случайных опытов полезно рассматри­вать различные способы кодирования элементарных исходов; обсуж­дать, какие из них наиболее удобны и экономичны.
Принципиальным новшеством, отличающим методическую систему Е.А. Бунимовича и Е. А. Булычева от предшествующих попыток ввести элементы теории вероятностей в общеобразовательной школе, было главенство частот­ного (а не аксиоматического или классического) подхода к определе­нию вероятности. Сегодня с таким подходом согласно большинство ав­торов, пишущих для школы. Таким образом, универсальное определе­ние вероятности как числа, к которому приближается относительная ча­стота случайного события в длинной серии опытов, представляется, не­смотря на все свои недостатки, единственно правильным.
При этом классический и геометрический подход к определению ве­роятности должны рассматриваться как частные случаи вероятностных моделей, в которых это число удается вычислить (предсказать) без про­ведения опыта. Таким образом, вероятность появляется как универ­сальная количественная мера возможности осуществления случайных событий, а все частные формулы для ее подсчета служат лишь для вы­числения этой меры в определенном круге ситуаций.
Такое введение вероятности требует предварительного (и достаточно подробного) знакомства учащихся с понятиями абсолютной и относи­тельной частоты, изучения статистического материала, полученного как самостоятельно (бросание монеты, кубика, кнопки, опыты с шарами, вертушками и т.д.), так и предоставленного учителем. Наблюдение за реальной стабилизацией относительных частот играет, на наш взгляд, не менее важную роль в развитии вероятностного мышления и интуи­ции, чем получение комбинаторных навыков.
При изучении этого раздела полезным может оказаться урок в форме лабораторной работы, связанной с проведением случайных экспери­ментов и обработкой полученных результатов (в идеале — компьютер­ной. Заканчивается раздел рассмотрением двух важнейших для дальней­шего свойств частот и вероятностей:
• сумма относительных частот (вероятностей) всех элементарных исходов опыта равна 1;• относительная частота (вероятность) любого события равна сумме частот (вероятностей) благоприятных для него исходов.При этом для частот эти свойства выполняются с очевидностью, а на вероятность они переносятся в результате «предельного перехода».То, что вероятность любого события может быть найдена как сумма вероятностей благоприятных исходов, автоматически подводит нас к вопросу — а как вычислить вероятности самих исходов? Можно ли сде­лать это, минуя опыт?
Несколько хорошо знакомых примеров — монета, кубик — наведут учеников на идею опыта с равно возможными исходами. После этого они вполне способны самостоятельно открыть формулу Лапласа: Р(А) = . Именно с этой формулы начинается решение по-настоящему интересных задач.
Авторы многих учебников, приводя формулу Лапласа, забывают лишний раз напомнить об условиях ее применимости: опыт должен иметь конечное число равно возможных исходов. Именно с этого следует начинать решение любой задачи, связанной с использова­нием данной формулы. Чрезвычайно полезными здесь оказываются примеры, в которых исходы опыта либо неравновозможны по свой сути (кнопка, пуговица, кубик со смещенным центром тяжести и т.д.), либо в качестве исходов ошибочно рассматриваются неравновозможные со­бытия .
В качестве испытанного на практике рабочего «инструмента» можем предложить следующую общую схему решения задач на классическую вероятность.
1. Описание возможных исходов опыта, их кодирование и перечис­ление (полное или частичное).2. Обоснование равновозможности перечисленных исходов (здесь можно опираться на симметрию самого объекта, участвующего в опы­те; использовать прямые указания в тексте задачи: «случайно», «наугад», «не глядя» и т.д.).
3. Подсчет общего числа исходов опыта п (на первом этапе — пря­мой подсчет; позже — использование комбинаторных правил и фор­мул).
4. Описание благоприятных для события А исходов, их перечисление (полное или частичное). Если все исходы уже выписаны, то можно про­сто отметить среди них благоприятные для А.
5. Подсчет числа благоприятных для события А исходов т.
6. Вычисление вероятности по формуле
7. Оценка и интерпретация полученного результата.
Обратите внимание, что первые три пункта касаются только случай­ного эксперимента и никак не связаны со случайным событием А.
Получив ответ, необходимо обсудить с учениками его реальный смысл, привести частотную интерпретацию. Полезно выяснить, совпа­дает ли полученная величина с интуитивным представлением учеников о вероятности; удовлетворяет ли основным свойствам и т.д.
Геометрическая модель вероятности, несмотря на кажущуюся про­стоту и естественность, вызывает неизменные трудности у учащихся. Их источник легко объяснить — переход от конечного множества возмож­ных исходов эксперимента к бесконечному (да еще несчетному!).
Типичная ошибка при решении задач на геометрическую вероят­ность — несоответствие размерностей. Часто при вычислении гео­метрической вероятности длину делят на площадь или площадь на объем. В таких случаях полезно проверять полученную формулу для вероятно­сти на «безразмерность».
Перечисленные трудности рассматриваемой темы, как нам кажется, с лихвой окупаются интересными задачами и их связью со всеми разде­лами математики — геометрией, алгеброй, математическим анализом.
II. Формула Бернулли. В стандартах эта тема отсутствует. Тем не менее схема повторных ис­пытаний Бернулли лежит в основе большинства задач по теории вероятно­стей (в том числе и тех, что вы уже решали в первых лекциях), а закон больших чисел, впервые сформулированный и доказанный Бернулли, яв­ляется математическим фундаментом всех приложений теории вероятно­стей и математической статистики.
Здесь мы снова возвращаемся к понятиям случайного опыта, случай­ного события и его вероятности. В явном виде формулируется еще одно важное требование — независимости повторных испытаний. Для большин­ства опытов независимость следует из самой сути явления (бросание мо­неты или кубика, случайный выбор с возвращением и т.д.). В более слож­ных экспериментах зависимостью испытаний приходится просто пренеб­регать (например, случайный выбор без возвращения из большой сово­купности объектов). Нужно понимать, что схема повторных независимых испытаний является некоторой математической идеализацией и далеко не всегда в чистом виде выполняется в реальности.
Испытания Бернулли выделяются из общей схемы повторных неза­висимых испытаний тем, что мы забываем обо всех деталях опыта и фактически разделяем все множество исходов на два класса: те, что благоприятствуют наступлению некоторого случайного события А (ус­пех), и все остальные (неуспех). С этой точки зрения любые повтор­ные независимые испытания можно считать испытаниями Бернулли, если договориться, какое случайное событие мы будем при этом рассмат­ривать в качестве успеха. Получается, что в каждой схеме повторных независимых испытаний скрыто много разных схем Бернулли: выбор каждой конкретной из них определяется выбором соответствующего события А.
Таким образом, первое важное умение, которое закладывается в этом разделе, — «увидеть» в опыте схему Бернулли или убедиться в ее отсут­ствии.Формула Бернулли — одна из первых нетривиальных формул теории вероятностей, доступная для понимания школьников. Кроме того, она дает ключ к решению многих содержательных задач. Формула Бернулли в сочетании с другими формулами теории вероят­ностей дает возможность вычислить вероятность сложных событий, воз­никающих в схеме Бернулли: вероятность того, что число успехов будет не больше (не меньше) заданного числа; что она будет лежать в заданном интервале и т.д. Для этого достаточно просуммировать вероятности со­ответствующих исходов, найденные по формуле Бернулли.Так называемые предельные теоремы в схеме Бернулли позволяют при­близить точные значения вероятностей, которые можно получить по фор­муле Бернулли, вероятностями, полученными из других распределений: нормального и Пуассона.Нормальное распределение играет в теории вероятностей особую роль. Дело в том, что если значения некоторой случайной величины складыва­ются из большого числа взаимно независимых величин, то ее распреде­ление будет близко к нормальному. Причем это не зависит от природы сла­гаемых, лишь бы каждое из них было мало по сравнению со всей суммой. Этот факт носит в теории вероятностей название центральной предельной теоремы и лежит в основе многих статистических приложений.
: Множество. Элемент множества, подмножество. Объединение и пересечение множеств. Диаграммы Эйлера.
Элементарные и сложные события. Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместных событий, вероятность про­тивоположного события. Понятие о независимости событий.Теоретико-множественный подход в свое время лег в основу аксио­матического построения теории вероятностей и превратил ее в полноценную математическую дисциплину. Учитывая появление эле­ментов теории множеств в стандартах школьного образования, этот под­ход невозможно обойти при изучении случайных событий и свойств ве­роятностей.
Материал может быть разделен между основной и старшей школой. В основной школе рассматриваются теоретико-множествен­ные операции над событиями: дополнение, объединение, пересечение. В старшей школе изучается поведение вероятностей под действием этих операций, рассматриваются важнейшие для всей теории понятия несовместных и независимых событий.
После определения операции дополнения и рассмотрения примеров выясняется, как ведет себя вероятность при применении данной опера­ции. Приводится обоснование формулы для вероятности противополож­ного события. Отметим, что при аксиоматическом построении эта фор­мула является элементарным следствием аксиомы аддитивности. Но по­скольку в школьном курсе рекомендуется использо­вать частотный подход, то и обоснование всех формул здесь и в даль­нейшем мы ищем именно в рамках этого подхода.Хорошо известным средством для наглядного изображения всех опе­раций над множествами служат диаграммы Эйлера, которые мы также вводим в этом разделе. В дальнейшем с помощью диаграмм демонстри­руются различные свойства операций и вероятностей.В этом разделе рассматриваются две основные операции над событи­ями — объединение и пересечение. Следуя упомянутому выше «двой­ственному» взгляду на события, мы рассматриваем два определения каж­дой операции — формальное теоретико-множественное и естественное словесное.Важно, чтобы при рассмотрении примеров и задач учащиеся почув­ствовали преимущества теоретико-множественного подхода при опре­делении результатов объединения и пересечения. Зачастую именно фор­мальное представление событий как подмножеств в Ω позволяет безо­шибочно найти результаты применения любых операций и однозначно их записать; в то время как словесное описание этих результатов может быть весьма запутанным и вызывать у учащихся затруднения логическо­го или даже лингвистического плана.
Следуя «двойственной» природе случайных событий, понятие несов­местности можно рассматривать с двух точек зрения: это события, кото­рые не могут произойти одновременно (естественный язык); это непере­секающиеся множества (теоретико-множественный язык). В любом слу­чае говорить о несовместности событий можно только в рамках одного и того же эксперимента. При теоретико-множественном подходе это кажется очевидным.
С несовместными событиями связано важнейшее свойство вероят­ности — свойство аддитивности. Коротко его можно сформулировать так: вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероят­ностей. В аксиоматической теории это является одной из аксиом вероят­ности. При частотном подходе мы обосновываем эту формулу через очевидное соотношение между частотами несовместных событий и их объединения.
Как уже было сказано в самой лекции, понятие независимости игра­ет фундаментальную роль во всей теории вероятностей. На нем основа­ны наиболее известные результаты этой теории, нашедшие широкое ис­пользование в приложениях и превратившие ее в одну из самых попу­лярных математических дисциплин.Формально независимость означает выполнение соотношенияР(А∩В)=Р(А)*Р(В).
Сложный вопрос методического плана — как прийти к этой формуле наиболее естественным образом? Если несовместность легко выражает­ся в обычных теоретико-множественных терминах (несовместные т.е. не­пересекающиеся), то у независимости такого аналога просто нет. Пока­зать независимость на диаграмме Эйлера весьма затруднительно, посколь­ку для этого должны выполняться количественные соотношения между вероятностями. В то же время независимость имеет вполне определен­ный смысл на обычном языке и означает отсутствие какого-либо вза­имного влияния событий друг на друга.
Учащимся же нужно в любом случае обязательно объяснить, что естественное понимание независимости совпадает с формальным в том случае, если речь идет о событиях, связанных:• с разными объектами, участвующими в эксперименте и не влияю­щими друг на друга (бросаем два разных кубика) ;• с разными этапами одного и того же эксперимента, не влияющими друг на друга (два раза подряд бросаем кубик).В этом случае независимость следует из самой природы опыта, и формулу Р(А∩В)=Р(А)*Р(В) можно применять для вычисления ве­роятности пересечения событий.Если же рассматриваются два события, связанные с одним и тем же объектом или этапом эксперимента незави­симость ниоткуда не следует, и тогда ее нужно доказывать или опро­вергать, проверяя, выполняется ли эта формула.Раздел заканчивается обобщением формулы умножения вероятнос­тей на произвольные (зависимые) события. Это еще один довод за рас­смотрение условной вероятности. Формула, которая кажется очевидным следствием определения условной вероятности, оказывается удобным инструментом для решения многих задач, в которых проводится много­этапный эксперимент, т.е. эксперимент, состоящий из нескольких дей­ствий, следующих во времени друг за другом.

Оцените статью
Добавить комментарий