Решение. 1 Вычислим первую квадратичную форму. Тогда

§7. Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна кривой на поверхности.
[А]№1121. Найти первую и вторую квадратичную форму поверхности вращения .
Решение.1) Вычислим первую квадратичную форму. Тогда .
, , .
2) Вычислим вторую квадратичную форму.
.
3) Заметим, что , то есть линии и линии будут линиями кривизны.
линия : — мередианы.
линия : — параллели.
Главные направления – направления касательных к параллелям и мередианам. 
[А]№1129. Дана поверхность . Найти нормальную кривизну линии в точке А с локальными координатами этой поверхности. Определить вид нормального сечения в точке А, соответствующее данной кривой. Найти индикатрису Дюпена, главные кривизны и главные направления в точке А. Найти линии кривизны.
Решение. 1) Заметим, что эта поверхность эллиптический параболоид, общее уравнение которого .
Имеем . Найдем коэффициенты первой и второй квадратичных форм.
. Тогда . В точке А получим .
, , . Найдем направление касательной к кривой в точке А. Продифференцируем уравнение кривой : . Следовательно, направляющий вектор касательной в базисе имеет координаты . Подставим все найденные значения в формулу для вычисления нормальной кривизны: .
2) Определим вид нормального сечения. Запишем уравнение нормальной плоскости к эллиптическому параболоиду в точке А. Нормаль к поверхности . Координаты вектора касательной к кривой в базисе в точке А: . Координаты точки А в системе координат: Напишем уравнение плоскости, проходящей через точку А параллельно векторам : . Тогда нормальное сечение задается системой уравнений — парабола.
3) Найдем индикатрису Дюпена в точке А. Подставим найденные значения в общее уравнение индикатрисы Дюпена: . Получим в системе координат . Это эллипс, отличный от окружности. Пусть . Вычислим . С другой стороны, мы нашли нормальную кривизну . Для нее на индикатрисе Дюпена существует точка С такая, что , то есть не является окружностью.
4) Найдем главные направления и главные кривизны.
Запишем уравнение для нахождения главных кривизн: . Подставим данные задачи.
— главные кривизны.
Запишем уравнение для нахождения главных направлений: . Подставим данные задачи. Получим , то есть в локальных координатах главные направления . Проверим какому направлению какая кривизна соответствует. Имеем . Подставим и коэффициенты первой и второй квадратичных форм: . Следовательно, направлению соответствует кривизна .
5) Изобразим на картинке главные направления. Для этого найдем координаты векторов, задающих главные направления в базисе . Имеем , .
6) Найдем линии кривизны на данной поверхности. Имеем
. Тогда , то есть
а)
Так как эта линия кривизны проходит через точку , , то есть уравнение линии кривизны в локальных координатах
б) . Так как эта линия кривизны проходит через точку , , то есть уравнение линии кривизны в локальных координатах 
[А]№1125. Показать, что в фиксированной точке поверхности сумма нормальных кривизн кривых, имеющих ортогональные направления, постоянна.
Решение. Используем формулу Эйлера . 
[А]№1132. Выразить главные кривизны и поверхности, образованной касательными к заданной пространственной кривой, через кривизну и кручение этой кривой.
Решение. Пусть пространственная кривая задана векторным уравнением , где — натуральный параметр. Тогда поверхность касательных имеет уравнение . Найдем коэффициенты первой квадратичной формы: , . Тогда , , , . Найдем коэффициенты второй квадратичной формы: , , . Тогда , , . Тогда уравнение для вычисления главных кривизн примет вид . Откуда . 
Задачи к зачету и проверочным работам (семинар 7).
Найти главные направления и главные кривизны поверхностей:
а) в точке ; б) в точке ; в) в точке ; г) прямого геликоида в точке .
Найти нормальные кривизны в произвольной точке в направлении координатных линий прямого геликоида и тора.
Найти нормальные кривизны цилиндрической поверхности в произвольной точке в произвольном направлении. В каком направлении нормальная кривизна равна нулю?
Найти индикатрису Дюпена в произвольной точке прямого кругового цилиндра. Изобразить на картинке.
Найти линии кривизны прямого геликоида, плоскости, сферы, поверхности вращения, произвольной цилиндрической поверхности, произвольной конической поверхности, поверхности, образованной касательными данной линии.
Найти индикатрису Дюпена в произвольной точке прямого геликоида, плоскости сферы, поверхности вращения, произвольной цилиндрической поверхности, произвольной конической поверхности, поверхности, образованной касательными данной линии.
Доказать, что главные направления на прямом геликоиде делят пополам угол между прямолинейными образующими и винтовыми линиями.
[Б] №1731. Доказать, что вторая квадратичная форма плоскости тождественно равна нулю, вторая квадратичная форма сферы пропорциональна ее первой квадратичной форме.
[Б] №1737. Доказать, что на плоскости и сфере любая линия является линией кривизны.
[Б] №1738. Доказать, что только вдоль линии кривизны нормали к поверхности образуют развертывающуюся поверхность.
Выразить главные кривизны поверхности, образованной бинормалями к данной кривой, через ее кривизну и кручение.
Доказать, что поверхность является сферой или ее частью тогда и только тогда, когда ее вторая квадратичная форма пропорциональна первой.
Доказать, что если поверхность касается плоскости по некоторой линии, то каждая точка этой линии является параболической.
Доказать, что линия пересечения поверхности с плоскостью является линией кривизны тогда и только тогда, когда угол между поверхностью и плоскостью во всех точках линии пересечения один и тот же.

Оцените статью
Добавить комментарий