Свободные вынужденные и гармонические колебания. Уравнение гармонического движения

Зрение и слух несут информацию об удаленных от нас объектах материального мира и поэтому называются дистантными сенсорными системами. Эту информацию мы получаем в виде волн, которые называем звуком и светом. Поэтому прежде чем переходить к изучению устройства и работы этих сенсорных систем мы должны разобраться в природе специфических для этих систем раздражителей. Акустика, радиотехника, оптика и другие разделы науки и техники базируются на учении о колебаниях и волнах.В общем случае колебательными процессами называются процессы, точно или приблизительно повторяющиеся через одинаковые промежутки времени.Большую роль играет теория колебательных процессов в механике, в особенности при расчете на прочность летательных аппаратов, мостов, отдельных видов машин т. д.Рассмотрим механические колебания. Колебательное движение представляет собой периодическое движение, при котором каждый цикл подобен предыдущему.В случае механических колебаний повторяются изменения положений и скоростей каких-либо тел или частей тел. Эти изменения могут происходить под воздействием сил тяжести, упругих сил, капиллярных или каких-то других сил.Силу, под воздействием которой происходит колебательный процесс, называют возвращающей силой, так как она стремится тело или материальную точку, отклоненную от положения равновесия, вернуть в это положение.В зависимости от характера воздействия на колеблющееся тело различают свободные (или собственные) и вынужденные колебания.

Свободные, или собственные, колебания имеют место тогда, когда на колеблющееся тело (материальную точку) действует только возвращающая сила. Свободные колебания являются незатухающими, если не происходит рассеяния энергии в окружающее пространство. Однако реальные колебательные процессы являются затухающими, так как на колеблющееся тело действуют силы сопротивления движению (в основном силы трения).
Вынужденные колебания совершаются под действием внешней периодически изменяющейся силы, которую называют вынуждающей.
Собственные колебания являются не только самыми распространенными, но и самыми важными в теории колебательных процессов. Условия возникновения и характер вынужденных колебаний в большинстве случаев существенно зависят от характера собственных колебаний, свойственных данной колеблющейся системе.Во многих случаях системы совершают колебания, которые можно считать гармоническими.
Эти простейшие колебания называют гармоническими. Гармоническими (или простыми) колебаниями называются такие колебательные движения, при которых смешение тела от положения равновесия совершается по закону синуса или косинуса.
При графическом преобразовании такое колебание (волна) выглядит как синусоидальная кривая. При этом смещение колеблющейся точки или тела от положения равновесия в зависимости от времени обозначаемое x описывается уравнением гармонического движения:
А – амплитуда колебательного движения (размах колебаний), τ – время, φ – угол отклонение точки от положения равновесия в начальный момент τ0 и ω – угловая скорость движения тела.
Простейшим случаем, показывающим и само гармоническое колебание и его запись, является колебание песочного маятника. Его устройство показано на рис 1. Рисунок 1. Запись колебаний маятника. Т — период колебаний, а — амплитуда колебаний.Из отверстия конуса, подвешенного на нити, тонкой струйкой высыпается песок, прилипающий к смоченной водой бумажной ленте. Если равномерно протягивать эту ленту в горизонтальном направлении, то при колебаниях «песочного» маятника на ленте «прочертится» кривая, характеризующая его движение. На полоске бумаги процесс колебаний как бы развертывается во времени. Такая временная развертка дает нам много сведений о ходе колебательного процесса. Записанная кривая позволяет судить о форме колебаний и определить другие характеристики характеризующие данный колебательный процесс.

Все гармонические и негармонические колебания имеют общие характеристики, которые в каждом отдельном случае различаются только количественно, эти количественные различия и определяют «индивидуальность» каждого конкретного колебательного процесса.
Одним фундаментальным параметром любого колебательного процесса является амплитуда. , называют наибольшее отклонение (от нулевого) значения величины, совершающей гармонические колебания, например отклонение маятника от положения равновесия, значений силы тока и электрического напряжения в переменном электрическом токе и т. д. Другими словами, амплитуда определяет размах колебаний. Колеблющаяся величина достигает своего амплитудного (т. е. наибольшего) значения один раз в течение каждого полупериода колебаний. Обычно термин амплитуда применяют не только к гармоническим колебаниям, но и по отношению к величинам (и соответствующим им процессам) с колеблющимся значением по закону, более или менее близкому к гармоническому, а иногда и к колебаниям, вовсе далёким от гармонических. (Рис. 2) На этом же рисунке наглядно представлена другая важнейшая характеристика любого колебания, это –период.
Периодом колебаний Т называется время одного полного колебания ее точек.
Величина, обратная периоду, называется частотой колебаний.
Физический смысл частоты состоит в том, что она показывает количество колебаний происходящих в единицу времени. Частота измеряется в герцах. Один герц равен одному колебанию в секунду. Частота колебаний, обозначаемая буквой ν и период колебаний являются обратными величинами, связаны друг с другом согласно формуле:
Немного забегая вперед, здесь мы должны отметить, что поскольку все волновые процессы представляют собой распространение колебаний в различных средах, все вышеперечисленные характеристики используются и для описания волн, в том числе звуковых и световых.
Кроме того, для описания волн применятся и специфические для них параметры. Одним из них является длина волны.
Длиной волны называется расстояние между ближайшими точками волны, колеблющимися в одинаковых фазах.
Из рис. 3 видно, что длину волны λ определяет расстояние между точками 1 и 5.
На рисунке видно, что за время периода (τ=Т) волновой процесс распространится на расстояние λ. Поэтому длина волны λ равна расстоянию, на которое распространится волна за период Т. При этом скорость волны υ, длина волны и период волны связаны друг с другом уравнением:
Одной из важнейших характеристик колебательного движения характеризующей положение колеблющегося тела в данный конкретный момент является понятие фазы и сдвига фаз.

Понятие фазы проще всего определить с точки зрения математики. В некоторых учебниках математики фазой называют все, что стоит под знаком синуса или косинуса.Однако у фазы имеется и физический смысл.
Фазой колебания называют стадию или состояние движения колеблющегося тела относительно какого-либо его положения, например, относительно положения равновесия; это положение можно принять за начало отсчета фазы. Любое другое положение тела при его колебаниях будет иметь определенную стадию движения, или фазу, относительно выбранного начала отсчета. Учитывая это, можно определить смысл фазы как величины, характеризующей момент в развитии колебания.
Также, можно сказать о фазе, что это время, выраженное в угловой мере (радианах, градусах), а заодно и в долях периода. Ведь фаза может определять долю периода, прошедшую с момента начала колебания. Таким образом, фаза колебаний α – это величина, которая позволяет определить, какая доля периода прошла с момента начала колебаний и наиболее полно характеризует колебательный процесс поскольку: α=ωt.
Нагляднее всего понятие фазы можно представить при рассмотрении двух колебаний с разными фазами, когда между ними имеется разница и образуется так называемый сдвиг фаз.Для получения пары таких колебаний мы используем те же песочные маятники, но запустим их не синхронно.
Если два одинаковых гармонических колебания «стартовали» не одновременно — между ними образуется «сдвиг фазы». При графическом изображении это выглядит как сдвиг одной синусоидальной кривой по оси времени относительно другой (рис. 4). Таким образом, фаза колебания и разность фаз двух (даже одинаковых гармонических колебаний) определяет различие «итогов» при их наложении и сложении друг с другом. Образно выражаясь, можно сказать, что сдвиг колебаний по фазе определяет степень «синхронности» колебаний.
Рисунок 4. Сдвиг фаз колебаний двух одинаковых «песочных» маятников.Слева — колебания в противофазе, справа — колебания в фазе. Внизу — запись колебаний в противофазе. При этом «синхронные» колебания имеют одинаковую фазу. Одинаковую фазу имеют все колебания отличающиеся друг от друга на 2π и кратные им значения (что в уравнении синусоидальной кривой соответствует одному полному периоду колебания). При сложении (или наложении) такие колебания усиливают друг друга. Наоборот, колебания, отличающиеся на значения кратные нечетному числу π при сложении «гасят», уничтожают друг друга и называются противоположными по фазе. Рисунок 5. Схема «математического» представления сдвига фаз. Сдвиг фаз двух синусоидальных колебаний во времени равнозначен сдвигу фаз по углу. Фаза колебаний и сдвиг фаз могут играть важное значение в акустике. Например, неправильное подключение по фазе одной из колонок к усилителю может привести к ослаблению или выраженному искажению звука всего комплекса.Для снижения фазовых искажений в акустических колонках делают прорези — фазоинверторы, которые обеспечивают свободную циркуляцию воздуха и беспрепятственное движение мембран динамиков.

Все рассмотренные соотношения характеризуют незатухающие колебания. Однако реальные собственные колебания тел и систем являются затухающими, т. е. после первоначального импульса амплитуда колебаний начинает уменьшаться, хотя период колебаний и циклическая частота остаются неизменными.
Затухание колебаний в любой колебательной системе (механической, электрической и др.) обусловлено потерями энергии в этой системе. Потери энергии колебаний в механических колебательных системах происходят из-за трения (внешнего или внутреннего) и излучения упругих ноли в окружающую среду; в электрических — из-за наличия активного сопротивления проводников и по другим причинам.
Скорость затухания колебаний оценивается величиной λ, которая называется логарифмическим декрементом затухания и выражается формулой
где Ai и Аi+1— амплитуды двух следующих друг за другом колебаний.
Теоретически процесс затухания колебаний длится бесконечно долго. Практически его можно считать закончившимся в случае уменьшения амплитуды колебаний до значения, равного 1 % от первоначального. Рисунок 5. Затухающие собственные колебания.Слева — затухание мало, справа — затухание велико.

Свободные колебания начинаются под действием внешней силы, а затем продолжаются без внешней силы, только в результате действия внутренних сил системы. Частота свободных колебаний, называемая собственной, определяется свойствами самой системы, т. е — упругими свойствами, массой, геометрическими размерами и т. д.
В случае вынужденных колебаний система колеблется под действием внешней (вынуждающей) силы, и за счет работы этой силы периодически компенсируются потерн энергии системы. Частота вынужденных колебаний (вынуждающая частота) зависит от частоты изменения внешней силы.
Практически наиболее важным является случай, когда вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону.
Рисунок 6. Кривая на рисунке 6 соответствует большим значениям сил, вызывающих затухание, а кривая 2 — малым. Максимальный рост амплитуды отмечается, если частота изменения вынуждающей силы совпадает с частотой собственных колебаний системы, т.е. соотношение частот близко к единице.
Если частота изменения вынуждающей силы совпадает с частотой собственных колебаний системы, то амплитуда вынужденных колебаний достигает максимального значения. Такое явление называется резонансом. При этом, когда вынуждающая частота приближается к собственной частоте системы, амплитуда колебаний безгранично увеличивается, то есть наступает резонанс. В реальных системах, в которых имеет место затухание колебаний, амплитуда не может безгранично увеличиваться, она просто достигает наибольших значении.

В предыдущих разделах нашей книги мы подробно обсуждали колебательные процессы. Мы занимались их изучением для правильного понимания волновых процессов, к которым принадлежат звук и свет. Волновые процессы также представляют собой колебания. Чем же отличается волновое движения от других колебательных движений.
Волновое движение. Ранее в нашей книге шла речь о колебаниях одного тела — маятника или груза на пружине и т.д. Изолированный маятник совершает собственные колебания, определяемые только свойствами самого маятника. Иначе обстоит дело, если колебания происходят в системе, состоящей из нескольких маятников, между которыми имеется упругая связь. В такой системе связанных маятников колебания каждого отдельного маятника зависят от движения других маятников, и характер колебаний системы существенно отличается от характера колебаний одного единственного маятника.
Рисунок 7. Маятники, связанные пружинками, дают пример волнового движения. Рассмотрим колебания нескольких маятников, связанных между собой одинаковыми пружинками (рис. 7). Если отклонить в сторону крайний шар, то он будет оттягивать второй шар, второй шар будет отгягивать третий и т. д. Когда мы отпустим первый шар, он придет в колебание и благодаря связи с другими шарами и приведет в движение все остальные шары. Однако колебательное движение от одного шара к другому передается не мгновенно, а с некоторым запозданием. Каждый последующий шар благодаря инерции приходит в движение постепенно, набирает скорость и приводит затем в движение соседний шар, выводя его из положения равновесия. Таким образом, состояние колебательного движения передается последовательно от одного шара к другому с некоторой скоростью, которая зависит от силы упругости пружин и инерции шаров. Именно, скорость распространения колебательного движения тем больше, чем больше упругость пружин и чем меньше массы шаров. Такое колебательное движение называется волновым движением.
В действительности изолированных колебаний одного тела не существует. В какой бы среде ни находилось колеблющееся тело, — будь то в воздухе, в воде или в твердой среде, — его колебания не остаются изолированными. Каждая из названных сред обладает своими упругими свойствами, и в каждой из них благодаря взаимодействию между частицами, как бы связанными между собой «пружинками», возникшие в каком-либо месте колебания передаются все новым и новым частям среды. Таким образом, колебательное движение может передаваться от одной точки среды к другой. Тогда процесс колебании начнет передаваться от колеблющейся точки к соседней и распространяться все дальше и дальше. При этом в среде будут распространяться волны. Поэтому можно сказать, что процесс распространения колебаний в данной среде есть волновой процесс.

Оцените статью
Добавить комментарий