4.Описание САР в частотном представлении — План лекционных занятий дисциплины "Теория автоматического управления"

^ Если на вход любой системы подать сигнал синусоидальной формы:
x(t) = Xm cos(t) = Xm e jt .
Очевидно, что выходной сигнал будет иметь ту же форму:
y(t) = Ym cos(t+) = Ym e j(t+) .
Зависимость же между амплитудами и фазами выходного и входного сигналов определяет ДУ движения системы. Возмем произвольное, считая помеху f(t) равной нулю:
(T22 p2 + T1 p + 1) y(t) = (k1 + k2 p) x(t).
Подставим сигналы в уравнение движения:
T22(j)2 Ym e j(t+) + T1(j) Ym e j(t+) + Ym e j(t+) = k1 Xm e jt + k2(j) Xm e jt .
Найдем отношение выходного сигнала ко входному:
.
Заметим. Если вместо подстановки сигналов записать ДУ движения системы для домена Лапласа и вновь найти отношение выходного сигнала к входному (а точнее их изображений), то полученная в ходе этого преобразования ПФ совпадет с точностью до свободной переменной с частотной ПФ.
Резюме 1: Частотная передаточная функция получается из обычной заменой оператора Лапласа s на комплексную частоту j, т.е. в результате перехода от изображения Лапласа к изображению Фурье.
Резюме 2: ДУ движения системы связывает входной и выходной сигналы (т.е. функции времени), ПФ связывет изображения Лапласа тех же сигналов, а частотная ПФ связывает их спектры.
Частотная передаточная функция может быть представлена в следующих видах:
W(j) = A() e j), или W(j) = U() + jV() ;
где:
A() — модуль частотной передаточной функции — находится как отношение модулей числителя и знаменателя:
A() = (k12 + k22 2)1/2 / ((1 — T22 2)2 + T12 2)1/2 .
 — фаза частотной передаточной функции — находится как разность аргументов числителя и знаменателя:
= arctg(k2 / k1) — arctg(T1 / (1-T22)).
U() и V() — вещественная и мнимая части частотной ПФ. Для их нахождения немобходимо избавиться от мнимости в знаменателе, умножением на сопряженную знаменателю комплексную величину.

Оцените статью
Добавить комментарий