Решение. 1 Запишем параметрические уравнения поверхности. Вычислим первую и вторую квадратичную форму




Скачать 35.36 Kb.
Название Решение. 1 Запишем параметрические уравнения поверхности. Вычислим первую и вторую квадратичную форму
Дата публикации 14.06.2016
Размер 35.36 Kb.
Тип Решение
edushk.ru > Астрономия > Решение
§9. Асимптотические линии на поверхности.

Определение. Асимптотическим направлением в данной точке поверхности называется направление, касательное к нормальному сечению с кривизной 0 ( направление, для которого нормальная кривизна равна 0).

Определение. Кривая на поверхности, касательная к которой в каждой точке имеет асимптотическое направление, называется асимптотической линией.

Так как , кривая - асимптотическая - дифференциальное уравнение асимптотической линии.


  1. [А] №1153. Найти асимптотические линии на поверхности и показать, что одно семейство таких линий – прямолинейные образующие этой поверхности.

Решение. 1) Запишем параметрические уравнения поверхности . Вычислим первую и вторую квадратичную форму: , , .

2) Составим дифференциальное уравнение асимптотических линий.

.

3) Определим вид семейств асимптотических линий.

, то есть - два линейных уравнения, которые задают прямую. 

  1. Доказать, что линия на поверхности ассимптотическая тогда и только тогда, когда она прямая или имеет в каждой точке касательную плоскость к поверхность своей соприкасающейся плоскостью.

Решение.




Для любой кривой на поверхности имеем . Кривая асимптотическая тогда и только тогда, когда соприкасающаяся плоскость совпадает с касательной плоскостью в каждой точке асимптотической линии. 
Будем рассматривать поверхности, для которых не все .

  1. Если точка - эллиптическая, то для любого направления, то есть не существует асимптотических линий, проходящих через эту точку.

  2. Если точка - гиперболическая, то существует два асимптотических направления, следовательно, существует две асимптотические линии, проходящие через эту точку. В достаточно малой окрестности гиперболической точки можно выбрать такую координатную сеть, что она является асимптотической сетью.

Теорема. Координатная сеть является асимптотической тогда и только тогда, когда .

Пусть координатная сеть состоит из асимптотических линий. Тогда . Для линии: . Аналогично для линии получим .

Рассмотрим асимптотическую сеть с и докажем, что она является координатной сетью. Действительно, так как из уравнения следует, что . 


3. Доказать, что на поверхности отрицательной гауссовой кривизны линии кривизны делят пополам углы между асимптотическими линиями в каждой точке.

Решение.




Вспомним формулу Эйлера . Так как , существуют две асимптотические линии. Для каждой из них , следовательно, по формуле Эйлера , , то есть . 

Следствие. Найти выражение для угла между асимптотическими линиями через главные кривизны.

Решение. . 

  1. Если точка - параболическая. Тогда существует одно асимптотическое направление, которое совпадает с главным направлением и существует одна асимптотическая линия, совпадающая с линией кривизны. Заметим, что в этом случае асимптотические линии будут прямыми.




    1. Найти асимптотические линии поверхности касательных к данной пространственной кривой.

Решение. 1) Мы знаем, что для поверхности касательных коэффициенты второй квадратичной формы .

2) Запишем дифференциальное уравнение асимптотических линий: . Мы знаем, что уравнение задает касательные к линии . Итак, асимптотические линии поверхности касательных суть касательные к пространственной кривой . 

    1. Найти асимптотические линии цилиндрической и конической поверхности.

Решение. Все точки цилиндрической и конической поверхности параболические. Тогда через каждую точку этой поверхности проходит единственная асимптотическая линия, являющаяся прямой. Итак, асимптотические линии цилиндрической и конической поверхности суть их прямолинейные образующие. 

Задачи к зачету и проверочным работам (семинар 9).

  1. Дана поверхность, образованная бинормалями к некоторой кривой . Будет ли на этой поверхности ассимптотической?

  2. Доказать, что на поверхности, образованной главными нормалями линии, эта линия является ассимптотической.

  3. Найти асимптотические линии поверхностей: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

  4. Доказать, что если в некоторой точке поверхности средняя кривизна , то асимптотические направления в этой точке перпендикулярны.

  5. Доказать, что на поверхности любая линия асимптотическая тогда и только тогда, когда эта поверхность является плоскостью.

  6. Доказать, что в любой точке асимптотической линии на поверхности выполнено , где æ – кручение этой линии, К – гауссова кривизна поверхности.







Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Решение. 1 Запишем параметрические уравнения поверхности. Вычислим первую и вторую квадратичную форму icon Решение. 1 Вычислим первую квадратичную форму. Тогда
А]№1129. Дана поверхность. Найти нормальную кривизну линии в точке а с локальными координатами этой поверхности. Определить вид нормального...
Решение. 1 Запишем параметрические уравнения поверхности. Вычислим первую и вторую квадратичную форму icon Вопросы к экзамену по курсу "Дифференциальные Уравнения"
Ду высших порядков, решение. Общее решение. Общий интеграл. Промежуточный интеграл. 1-й интеграл. Понижение порядка уравнения с помощью...
Решение. 1 Запишем параметрические уравнения поверхности. Вычислим первую и вторую квадратичную форму icon Решение диф уравнения, которое зависит от параметра
Аналогичная идея используется, если нам надо продифференцировать решение не по начальным условиям, а по параметрам, которые входят...
Решение. 1 Запишем параметрические уравнения поверхности. Вычислим первую и вторую квадратичную форму icon Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Метод ”бегущих волн”....
...
Решение. 1 Запишем параметрические уравнения поверхности. Вычислим первую и вторую квадратичную форму icon В. Ф. Дмитриев Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
В ряде работ по баллистике им приведены уравнения движения снаряда в атмосфере с учетом сопротивления движению воздуха, уравнения...
Решение. 1 Запишем параметрические уравнения поверхности. Вычислим первую и вторую квадратичную форму icon Государственные управленческие решения: виды, свойства, отличительные...
В самом широком смысле государственное управленческое решение это облеченная в официальную форму властная воля государства, которая,...
Решение. 1 Запишем параметрические уравнения поверхности. Вычислим первую и вторую квадратичную форму icon Лекция Философия Аристотеля. Критика учения Платона об идеях. «О...
«Метафизика» (онтология); «Органон», включающий первую и вторую «Аналитики», «Топику», «Категории» и др. (логика и теория познания);...
Решение. 1 Запишем параметрические уравнения поверхности. Вычислим первую и вторую квадратичную форму icon Статья Содержание статьи
Называется эта сумма валютой баланса. По каждой строке баланса предприятия заполняются две графы. В первую графу заносится финансовое...
Решение. 1 Запишем параметрические уравнения поверхности. Вычислим первую и вторую квадратичную форму icon Урока «Решение упражнений по теме «Неметаллы»
Цель урока: систематизация, закрепление и обобщение знаний учащихся по теме «Неметаллы»; отработать умения учащихся составлять уравнения...
Решение. 1 Запишем параметрические уравнения поверхности. Вычислим первую и вторую квадратичную форму icon Методические указания и задания к контрольным работам студентов III
Уравнения математической физики – это дифференциальные уравнения относительно функции двух или трех переменных и частных производных...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
edushk.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов